T\colon \mathbb{R}^4\to M(2,2),\quad T(x,y,z,t) =\begin{pmatrix} -2x+y+z & z-y+t\\[6pt] t - x + y & z - t \end{pmatrix}.
Queremos verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, achar T^{-1} e a matriz associada a T^{-1}. Para isso, vamos escolher como base de M(2,2) a família
Resolvendo em cadeia (da última equação para a primeira) obtemos
\begin{aligned} z &= \frac{3d + 2c + b - a}{3},\\\ t &= z - d = \frac{2c + b - a}{3},\\\ y &= 2z - d - b = \frac{3d + 4c - b - 2a}{3},\\\ x &= c + d - a. \end{aligned}
Passo 4
Portanto
T^{-1}\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) = \bigl(x,y,z,t\bigr) = \Bigl(c + d - a,\; \tfrac{3d+4c - b -2a}{3},\; \tfrac{3d+2c + b -a}{3},\; \tfrac{2c + b -a}{3}\Bigr).
Passo 5
Em coordenadas, se denotarmos o vetor coluna de \bigl(x,y,z,t\bigr) por [x,y,z,t]^\mathsf{T} e o de [a,b,c,d]^\mathsf{T}, a matriz de T^{-1} é