(3.0 ptos) Determine a transformação inversa (caso exista) de T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow M(2,2) onde
T(x, y, z, t)=\left[\begin{array}{cc} -2 x+y+z & z-y+t \\\ t-x+y & z-t \end{array}\right]_{2 \times 2} .
Ache a matriz associada (caso exista) de T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^4\to M(2,2),\quad T(x,y,z,t) =\begin{pmatrix} -2x+y+z & z-y+t\\[6pt] t - x + y & z - t \end{pmatrix}.
Queremos verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, achar T^{-1} e a matriz associada a T^{-1}. Para isso, vamos escolher como base de M(2,2) a família
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
e usar a base canônica of \mathbb{R}^4.]

Passo 2

Vamos escrever T\) em coordenadas. Se \((x,y,z,t)\) é o vetor–coluna em \(\mathbb{R}^4\) e \[T(x,y,z,t) = c_1E_{11}+c_2E_{12}+c_3E_{21}+c_4E_{22},
então
\begin{cases} c_1=-2x+y+z,\\\ c_2=z-y+t,\\\ c_3=-x+y+t,\\\ c_4=z-t. \end{cases}
Logo a matriz A\] de \(T (colunas = imagens de (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)) é
A= \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1& 1 & 1\\\\ -1 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Cálculo de \det A \det A=-3\neq0, logo T é invertível.

Passo 3

Para achar T^{-1}, tomamos um elemento arbitrário de M(2,2),
M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} = a\,E_{11}+b\,E_{12}+c\,E_{21}+d\,E_{22},
e queremos (x,y,z,t) tal que T(x,y,z,t)=M. Isso equivale ao sistema
\begin{cases} -2x+y+z = a,\\\\ -z+y-t = -b\quad(\text{i.e. }z-y+t=b),\\\\ -x+y+t = c,\\\ z-t = d. \end{cases}
Resolvendo em cadeia (da última equação para a primeira) obtemos
\begin{aligned} z &= \frac{3d + 2c + b - a}{3},\\\ t &= z - d = \frac{2c + b - a}{3},\\\ y &= 2z - d - b = \frac{3d + 4c - b - 2a}{3},\\\ x &= c + d - a. \end{aligned}

Passo 4

Portanto
T^{-1}\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr) = \bigl(x,y,z,t\bigr) = \Bigl(c + d - a,\; \tfrac{3d+4c - b -2a}{3},\; \tfrac{3d+2c + b -a}{3},\; \tfrac{2c + b -a}{3}\Bigr).

Passo 5

Em coordenadas, se denotarmos o vetor coluna de \bigl(x,y,z,t\bigr) por [x,y,z,t]^\mathsf{T} e o de [a,b,c,d]^\mathsf{T}, a matriz de T^{-1} é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1\\[3pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{3} & 1\\[3pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 1\\[3pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

A transformação T é invertível e a matriz associada a T^{-1} (na base canônica de \mathbb{R}^4 e na base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} de M(2,2)) é
\boxed{ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1\\[3pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{3} & 1\\[3pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 1\\[3pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} }.]

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