(2.0 ptos) Diga se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. Justifique sua resposta.
S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde S(x, y, z)=(3 z-2 x, x+y+z, y-2 x).

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a transformação linear
S\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad S(x,y,z) = (3z - 2x,\;x+y+z,\;y-2x)
é um isomorfismo. Lembre que, em espaços vetoriais de mesma dimensão finita, basta mostrar que S é injetora (equivalente a \ker S=\{0\}) ou, de forma equivalente, que a matriz associada tem determinante não nulo.

Passo 2

Vamos escrever S na base canônica como a multiplicação por uma matriz A. Para (x,y,z) temos
S(x,y,z) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
ou seja,
A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = (-2)\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -2&0\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -2&1\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =1\cdot0 - 1\cdot1=-1, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ -2&1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 1\cdot(-2)=3.
Logo
\det(A)=(-2)\cdot(-1)+3\cdot3=2+9=11\neq0.

Passo 4

Como \det(A)\neq0, a transformação S é bijetora e, portanto, um isomorfismo de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3.

Resposta

S é um isomorfismo, pois \det(A)=11\neq0.

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