(2.0 ptos) Diga se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. Justifique sua resposta. S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde S(x, y, z)=(3 z-2 x, x+y+z, y-2 x).
Passo 1
O enunciado pede para analisar se a transformação linear
é um isomorfismo. Lembre que, em espaços vetoriais de mesma dimensão finita, basta mostrar que S é injetora (equivalente a \ker S=\{0\}) ou, de forma equivalente, que a matriz associada tem determinante não nulo.
Passo 2
Vamos escrever S na base canônica como a multiplicação por uma matriz A. Para (x,y,z) temos