Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta
R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta)
encontre a matriz de rotação para:
\theta=\pi / 4

Passo 1

O enunciado define a aplicação
R_{\theta}(x,y) = \bigl(x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta\bigr)
que é uma rotação no plano. Nosso objetivo é encontrar a matriz 2\times2 dessa transformação e, em seguida, especializar para \theta = \pi/4.

Passo 2

Escrevendo
\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
comparamos com
x' = x\cos\theta - y\sin\theta,\quad y' = x\sin\theta + y\cos\theta
e identificamos
a = \cos\theta,\quad b = -\sin\theta,\quad c = \sin\theta,\quad d = \cos\theta.

Passo 3

Para \theta = \pi/4 sabemos que
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo em a,b,c,d, a matriz de rotação fica
R_{\pi/4} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\[6pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

R_{\pi/4} = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\[4pt] \tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados