Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta
R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta)
encontre a matriz de rotação para:
\theta=\pi / 6

Passo 1

O enunciado define a transformação linear de rotação no plano por um ângulo \theta
R_{\theta}(x,y) = \bigl(x\cos\theta - y\sin\theta,\;y\cos\theta + x\sin\theta\bigr)
e pede a matriz dessa rotação quando \theta = \pi/6.
Conteúdo: representação matricial de transformações lineares. Vamos usar que a matriz de R_{\theta} na base canônica \{e_1,e_2\} é dada pelas imagens de e_1=(1,0) e e_2=(0,1).

Passo 2

Calcular R_{\theta}(1,0) e R_{\theta}(0,1).
Para e_1=(1,0):
R_{\theta}(1,0) = \bigl(1\cdot\cos\theta - 0\cdot\sin\theta,\;0\cdot\cos\theta + 1\cdot\sin\theta\bigr) = (\cos\theta,\sin\theta).
Para e_2=(0,1):
R_{\theta}(0,1) = \bigl(0\cdot\cos\theta - 1\cdot\sin\theta,\;1\cdot\cos\theta + 0\cdot\sin\theta\bigr) = (-\sin\theta,\cos\theta).

Passo 3

Montar a matriz de R_{\theta} colocando essas imagens como colunas:
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituir \theta = \pi/6. Sabendo que \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\pi/6)=\tfrac{1}{2}, obtemos
\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}

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