Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta
R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta)
encontre a matriz de rotação para:
\theta=\pi

Passo 1

O enunciado dá a transformação de rotação no plano
R_{\theta}(x,y) = (\,x\cos\theta - y\sin\theta,\;y\cos\theta + x\sin\theta\,)
e pede a matriz dessa rotação para \theta = \pi.
O conteúdo envolvido é transformação linear e matriz associada na base canônica.

Passo 2

Para qualquer transformação linear T\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2, a matriz em relação à base canônica \{e_1,e_2\} tem como colunas os vetores T(e_1) e T(e_2), onde
e_1 = (1,0),\qquad e_2 = (0,1).

Passo 3

Aplicando R_{\pi} aos vetores da base:
Para e_1=(1,0) temos
R_{\pi}(1,0) = \bigl(1\cdot\cos\pi - 0\cdot\sin\pi,\;0\cdot\cos\pi + 1\cdot\sin\pi\bigr) = (\cos\pi,\sin\pi) = (-1,0).
Para e_2=(0,1) temos
R_{\pi}(0,1) = \bigl(0\cdot\cos\pi - 1\cdot\sin\pi,\;1\cdot\cos\pi + 0\cdot\sin\pi\bigr) = (-\sin\pi,\cos\pi) = (0,-1).

Passo 4

Colocando (-1,0) como primeira coluna e (0,-1) como segunda coluna, obtemos a matriz de R_{\pi} na base canônica.

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

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