e pede para verificar se A é diagonalizável.
Dados relevantes que temos: os elementos da matriz A (todos os coeficientes estão na matriz acima).
O que nos é pedido: responder se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A=PDP^{-1} (ou seja, se A é diagonalizável).]
Passo 2
Conceito e critério que vamos usar (explicado devagar):
Uma matriz quadrada A de ordem n é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) formada por autovetores de A. Na prática, isto equivale a que a soma das dimensões dos autespaços de A seja igual a n.
Para cada autovalor \lambda define-se:
multiplicidade algébrica de \lambda: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I);
multiplicidade geométrica de \lambda: é a dimensão do autespaço \ker(A-\lambda I).
Condição prática para diagonalizabilidade: A é diagonalizável se, para todo autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica de \lambda for igual à sua multiplicidade algébrica. Em particular, a soma das multiplicidades geométricas deve ser n.
Vou então calcular o polinômio característico (para obter autovalores e multiplicidades algébricas) e depois os autespaços (para obter multiplicidades geométricas).
Passo 3
Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Escrevendo A-\lambda I:
Da primeira equação 0\cdot x_1+2x_2-2x_3=0 vem x_2=x_3.
Da segunda equação 2x_1+0\cdot x_2-2x_3=0 vem x_1=x_3.
Substituindo na terceira equação dá 2x_1+2x_2-4x_3=0 que é satisfeita automaticamente se x_1=x_2=x_3.
Assim os vetores do autespaço têm a forma t(1,1,1) com t\in\mathbb{R}. Logo a dimensão do autespaço associado a \lambda=1 é 1. Isso coincide com a multiplicidade algébrica 1.
Um autovetor associado a \lambda=1 é, por exemplo, (1,1,1).]
Passo 6
Autovalor \lambda=-1. Calculamos o autespaço \ker(A+I) resolvendo (A+I)x=0. A matriz A+I é
Isto dá x_3=x_1+x_2, com x_1 e x_2 livres. Portanto o autespaço tem dimensão 2. Uma base conveniente do autespaço é dada pelos vetores obtidos fixando (x_1,x_2)=(1,0) e (0,1), que dão os autovetores
(1,0,1)\quad\text{e}\quad(0,1,1).
Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica 2.]
Passo 7
Resumo das multiplicidades:
Para \lambda=1: multiplicidade algébrica =1, multiplicidade geométrica =1.
Para \lambda=-1: multiplicidade algébrica =2, multiplicidade geométrica =2.
A soma das multiplicidades geométricas é 1+2=3, que é a ordem da matriz A. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A (por exemplo (1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)), e assim A é diagonalizável. A forma diagonal correspondente será, numa ordem adequada dos autovetores, \operatorname{diag}(1,-1,-1).