Verifique se a matriz A é diagonalizável nos casos abaixo:
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 2 & 2 & -3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\[4pt]2 & 1 & -2\\[4pt]2 & 2 & -3\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é diagonalizável.
Dados relevantes que temos: os elementos da matriz A (todos os coeficientes estão na matriz acima).
O que nos é pedido: responder se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A=PDP^{-1} (ou seja, se A é diagonalizável).]

Passo 2

Conceito e critério que vamos usar (explicado devagar):
  • Uma matriz quadrada A de ordem n é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) formada por autovetores de A. Na prática, isto equivale a que a soma das dimensões dos autespaços de A seja igual a n.
  • Para cada autovalor \lambda define-se:
    • multiplicidade algébrica de \lambda: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I);
    • multiplicidade geométrica de \lambda: é a dimensão do autespaço \ker(A-\lambda I).
  • Condição prática para diagonalizabilidade: A é diagonalizável se, para todo autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica de \lambda for igual à sua multiplicidade algébrica. Em particular, a soma das multiplicidades geométricas deve ser n.
Vou então calcular o polinômio característico (para obter autovalores e multiplicidades algébricas) e depois os autespaços (para obter multiplicidades geométricas).

Passo 3

Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 & -2\\[4pt]2 & 1-\lambda & -2\\[4pt]2 & 2 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
Vamos calcular a determinante por expansão (ou por operações que simplifiquem); aqui faço a expansão direta e simplifico termos:
\begin{aligned} \chi_A(\lambda) &=\det(A-\lambda I)\\[4pt] &=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[2pt]2 & -3-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[2pt]2 & -3-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & 1-\lambda\\[2pt]2 & 2\end{pmatrix}. \end{aligned}
Calcule cada determinante menor:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[2pt]2 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-3-\lambda)-(-2)\cdot 2.
Multiplicando,
(1-\lambda)(-3-\lambda) = \lambda^2+2\lambda-3,
então
(1-\lambda)(-3-\lambda)-(-2)\cdot 2=\lambda^2+2\lambda-3+4=\lambda^2+2\lambda+1=(\lambda+1)^2.
O segundo menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[2pt]2 & -3-\lambda\end{pmatrix}=2(-3-\lambda)-(-2)\cdot 2=-6-2\lambda+4=-2-2\lambda=-2(1+\lambda).
Multiplicando pelo fator externo -2 obtemos -2\cdot[-2(1+\lambda)]=4(1+\lambda).
O terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 1-\lambda\\[2pt]2 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2-(1-\lambda)\cdot 2=4-2+2\lambda=2+2\lambda=2(1+\lambda).
Multiplicando pelo fator externo -2 obtemos -2\cdot[2(1+\lambda)]=-4(1+\lambda).
Agora juntando tudo:
\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda+1)^2 + 4(1+\lambda) -4(1+\lambda).
Os dois últimos termos cancelam, ficando
\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda+1)^2.]

Passo 4

Identificamos os autovalores e suas multiplicidades algébricas a partir de \chi_A(\lambda):
  • \lambda=1 é raiz simples: multiplicidade algébrica =1.
  • \lambda=-1 é raiz de multiplicidade algébrica =2.
Para decidir sobre diagonalizabilidade precisamos agora das multiplicidades geométricas (dimensões dos autespaços) de cada autovalor.

Passo 5

Autovalor \lambda=1. Calculamos o autespaço \ker(A-I) resolvendo (A-I)x=0. A matriz A-I é
A-I=\begin{pmatrix}0 & 2 & -2\\[4pt]2 & 0 & -2\\[4pt]2 & 2 & -4\end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema linear:
  • Da primeira equação 0\cdot x_1+2x_2-2x_3=0 vem x_2=x_3.
  • Da segunda equação 2x_1+0\cdot x_2-2x_3=0 vem x_1=x_3.
    Substituindo na terceira equação dá 2x_1+2x_2-4x_3=0 que é satisfeita automaticamente se x_1=x_2=x_3.
Assim os vetores do autespaço têm a forma t(1,1,1) com t\in\mathbb{R}. Logo a dimensão do autespaço associado a \lambda=1 é 1. Isso coincide com a multiplicidade algébrica 1.
Um autovetor associado a \lambda=1 é, por exemplo, (1,1,1).]

Passo 6

Autovalor \lambda=-1. Calculamos o autespaço \ker(A+I) resolvendo (A+I)x=0. A matriz A+I é
A+I=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2\\[4pt]2 & 2 & -2\\[4pt]2 & 2 & -2\end{pmatrix},
ou seja, todas as linhas são iguais. O sistema (A+I)x=0 reduz-se a uma única equação
2x_1+2x_2-2x_3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_1+x_2-x_3=0.
Isto dá x_3=x_1+x_2, com x_1 e x_2 livres. Portanto o autespaço tem dimensão 2. Uma base conveniente do autespaço é dada pelos vetores obtidos fixando (x_1,x_2)=(1,0) e (0,1), que dão os autovetores
(1,0,1)\quad\text{e}\quad(0,1,1).
Assim a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 2, igual à sua multiplicidade algébrica 2.]

Passo 7

Resumo das multiplicidades:
  • Para \lambda=1: multiplicidade algébrica =1, multiplicidade geométrica =1.
  • Para \lambda=-1: multiplicidade algébrica =2, multiplicidade geométrica =2.
A soma das multiplicidades geométricas é 1+2=3, que é a ordem da matriz A. Portanto existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A (por exemplo (1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)), e assim A é diagonalizável. A forma diagonal correspondente será, numa ordem adequada dos autovetores, \operatorname{diag}(1,-1,-1).

Resposta

A é diagonalizável.

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