Considere a transformação T: P2 P3, dada por
T(p(x))=p(x)+x^2 p^prime(x)
Verifique que T é linear.

Passo 1

Para verificar linearidade, recordamos que uma transformação T é linear se, para quaisquer p(x),q(x)in P2 e escalares a,b, tivermos
Tl(a,p(x)+b,q(x)r)=a,Tl(p(x)r)+b,Tl(q(x)r)
Aqui T é dada por T(p(x))=p(x)+x^2p'(x).

Passo 2

Calculemos T(a,p(x)+b,q(x)). Primeiro
l(a,p(x)+b,q(x)r)'=a,p'(x)+b,q'(x),
então
Tl(a,p+b,qr)=(a,p+b,q)+x^2,(a,p'+b,q')=a,l(p+x^2p'r)+b,l(q+x^2q'r)

Passo 3

Observando que p+x^2p'=T(p) e q+x^2q'=T(q), concluímos
Tl(a,p+b,qr)=a,T(p)+b,T(q)
Logo T é linear.

Resposta

T é linear.

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