Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 satisfazendo
im(T)=(x, y, z) in R^3 ; x=y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que a imagem de T seja o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 onde x = y . Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, imagem de uma transformação e matrizes que representam essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: R^3 R^3 é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos dois vetores u e v , e um escalar c , então:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)

Passo 3

Agora, a imagem de T , denotada por im(T) , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor em R^3 . No nosso caso, queremos que:
im(T) = (x, y, z) in R^3 ; x = y
Isso significa que qualquer vetor resultante de T deve ter a primeira e a segunda componentes iguais.

Passo 4

Para construir a matriz que representa T , precisamos garantir que, ao multiplicar essa matriz por qualquer vetor v = (v1, v2, v3) , o resultado seja um vetor onde a primeira e a segunda componentes são iguais. Vamos chamar essa matriz de A .
Consideramos:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Queremos que A v = (x, y, z) com x = y .

Passo 5

Multiplicando A por v , temos:
A v = a v1 + b v2 + c v3 d v1 + e v2 + f v3 g v1 + h v2 + k v3
Para que x = y , precisamos que:
a v1 + b v2 + c v3 = d v1 + e v2 + f v3
Isso deve ser válido para qualquer v1, v2, v3 , então os coeficientes devem ser iguais:
a = d, b = e, c = f

Passo 6

Com isso, nossa matriz A fica:
A = a & b & c a & b & c g & h & k
Agora, precisamos escolher os valores de a, b, c, g, h, k de forma que a imagem de T seja exatamente o conjunto (x, y, z) in R^3 ; x = y . Para simplificar, podemos escolher alguns valores que atendam a essa condição.

Passo 7

Vamos escolher a = 1 , b = 0 , c = 0 , e também g = 0 , h = 0 , k = 0 . Assim, nossa matriz fica:
A = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 8

Vamos verificar se essa matriz atende à condição da imagem. Multiplicando A por um vetor v = (v1, v2, v3) , temos:
A v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = v1 v1 0
Aqui, vemos que x = v1 e y = v1 , então x = y , conforme desejado. A terceira componente z = 0 não interfere nessa condição.

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz im(T) = (x, y, z) in R^3 ; x = y é dada pela matriz
T = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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