Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar uma transformação linear tal que a imagem de seja o conjunto de todos os vetores em onde . Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, imagem de uma transformação e matrizes que representam essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos dois vetores e , e um escalar , então:
Passo 3
Agora, a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . No nosso caso, queremos que:
Isso significa que qualquer vetor resultante de deve ter a primeira e a segunda componentes iguais.
Passo 4
Para construir a matriz que representa , precisamos garantir que, ao multiplicar essa matriz por qualquer vetor , o resultado seja um vetor onde a primeira e a segunda componentes são iguais. Vamos chamar essa matriz de .
Consideramos:
Queremos que A v = (x, y, z) com x = y .
Passo 5
Multiplicando A por v , temos:
A v = a v1 + b v2 + c v3 d v1 + e v2 + f v3 g v1 + h v2 + k v3
Para que x = y , precisamos que:
a v1 + b v2 + c v3 = d v1 + e v2 + f v3
Isso deve ser válido para qualquer v1, v2, v3 , então os coeficientes devem ser iguais:
a = d, b = e, c = f
Passo 6
Com isso, nossa matriz A fica:
A = a & b & c a & b & c g & h & k
Agora, precisamos escolher os valores de a, b, c, g, h, k de forma que a imagem de T seja exatamente o conjunto (x, y, z) in R^3 ; x = y . Para simplificar, podemos escolher alguns valores que atendam a essa condição.
Passo 7
Vamos escolher a = 1 , b = 0 , c = 0 , e também g = 0 , h = 0 , k = 0 . Assim, nossa matriz fica:
A = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Passo 8
Vamos verificar se essa matriz atende à condição da imagem. Multiplicando A por um vetor v = (v1, v2, v3) , temos: