Seja
, definida por
, onde
Detremine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de
T .
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
dada por
once
Precisamos encontrar base e dimensão de
e de . Para isso vamos usar que
se relaciona com
e que
se relaciona com .]
se relaciona com
Passo 2
Calculemos
. Queremos vetores
tais que
Da primeira linha
vem
. Logo
e
. Como
não é a matriz zero, segue
e
. Um gerador de
é, por exemplo, a primeira coluna de
:
Passo 3
Caracterização de
ker T . Diz
T(A)=BA=0 se e somente se cada coluna
v1,v2 de
A satisfaz
ou seja
v1,v2inker B . Como
ker B=span(1,1)^T , cada coluna de
A é múltiplo de
11 . Assim
com
x,yinR . Uma base de
ker T é
e portanto
Passo 4
Caracterização de . Para qualquer
, tem-se
once cada
pertence a
. Logo as colunas de
são da forma
e
, dando
Uma base de é
e
]
Resposta
Base de
:
Base de :
.