Seja T: M(2,2) M(2,2), definida por T(A)=B A, onde
B=[rr 1 & -1 -2 & 2 ]
Detremine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
dada por
once
Precisamos encontrar base e dimensão de e de . Para isso vamos usar que
se relaciona com e que
se relaciona com .]

Passo 2

Calculemos . Queremos vetores tais que
Da primeira linha vem . Logo
e . Como não é a matriz zero, segue e . Um gerador de é, por exemplo, a primeira coluna de :
]

Passo 3

Caracterização de ker T. Diz T(A)=BA=0 se e somente se cada coluna v1,v2 de A satisfaz
Bv1=0, Bv2=0,
ou seja v1,v2inker B. Como ker B=span(1,1)^T, cada coluna de A é múltiplo de 11. Assim
A=l[v1;v2r] =x & y[3pt]x & y,
com x,yinR. Uma base de ker T é
A1=1&01&0, A2=0&10&1,
e portanto
dimker T=2 ]

Passo 4

Caracterização de . Para qualquer , tem-se
once cada pertence a . Logo as colunas de são da forma e , dando
Uma base de é
e
]

Resposta

Base de :
.
Base de :
.

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