Seja uma transformação linear com . é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pergunta se é diagonalizável. Para responder isso, vamos representar na base canônica, achar seus autovalores e dimensões dos autespaços, e verificar se conseguimos obter três autovetores independentes.
Passo 2
Na base canônica , a matriz de é triangular superior:
Como A é triangular, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal:
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = -2
Passo 3
Para cada autovalor calculamos a dimensão do autespaço [\ker(A - \lambda I)):
- :
logo e livre. Espace de dimensão , gerado por .
- :
logo . Espace de dimensão , gerado por .
- :
logo , livre. Espace de dimensão , gerado por .
Passo 4
Cada autovalor tem autespaço de dimensão 1, totalizando 1+1+1=3 vetores independentes. Como a soma das dimensões dos autespaços é igual à dimensão de R^3, obtemos uma base de autovetores e, portanto, T é diagonalizável.
Resposta
Sim. T tem três autovalores distintos (2,1,-2) e seus autespaços são todos de dimensão 1, o que garante que existe base de R^3 formada por autovetores de T.