Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear com T(x, y, z)=(2 x+3 y, y,-2 z).
T é diagonalizável? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x + 3y,;y,;-2z)
e pergunta se T é diagonalizável. Para responder isso, vamos representar T na base canônica, achar seus autovalores e dimensões dos autespaços, e verificar se conseguimos obter três autovetores independentes.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é triangular superior:
A = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2
Como A é triangular, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal:
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = -2

Passo 3

Para cada autovalor calculamos a dimensão do autespaço [\ker(A - \lambda I)):
- :
logo e livre. Espace de dimensão , gerado por .
- :
logo . Espace de dimensão , gerado por .
- :
logo , livre. Espace de dimensão , gerado por .

Passo 4

Cada autovalor tem autespaço de dimensão 1, totalizando 1+1+1=3 vetores independentes. Como a soma das dimensões dos autespaços é igual à dimensão de R^3, obtemos uma base de autovetores e, portanto, T é diagonalizável.

Resposta

Sim. T tem três autovalores distintos ( 2,1,-2) e seus autespaços são todos de dimensão 1, o que garante que existe base de R^3 formada por autovetores de T.

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