Considere a transformação
, dada por
(a) Verifique que
é linear.
(b) Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de
.
(b) Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de
Passo 1
O enunciado define
por
O que cai aqui é verificar que
é linear e, em seguida, achar
e
: suas bases e dimensões. Vamos usar a definição de linearidade e resolver
para o núcleo, e depois calcular
em uma base natural de
para obter a imagem.
Passo 2
Para mostrar que
é linear basta tomar
e
e ver:
Logo
satisfaz a propriedade de aditividade e homogeneidade, ou seja, é linear.
Passo 3
Para encontrar
escrevemos um polinômio genérico de grau
:
Impor
significa anular cada coeficiente:
Assim o único polinômio que vai para zero é o nulo.
Passo 4
Daí
logo
e a base do núcleo é o conjunto vazio (é o subespaço trivial).
Passo 5
Para a imagem, usamos a base canônica de
,
, e calculamos:
Portanto
Esses três vetores são linearmente independentes em
e geram a imagem.
Passo 6
Como
é gerado por três vetores independentes, temos
Resposta
(a)
é linear porque preserva soma e produto por escalar.
(b)
,
.
, .
,