Considere a transformação T: P2 P3, dada por
T(p(x))=p(x)+x^2 p^prime(x)
(a) Verifique que T é linear.
(b) Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define Tcolon P2to P3 por
Tl(p(x)r)=p(x)+x^2p'(x)
O que cai aqui é verificar que T é linear e, em seguida, achar ker(T) e Im(T): suas bases e dimensões. Vamos usar a definição de linearidade e resolver T(p)=0 para o núcleo, e depois calcular T em uma base natural de P2 para obter a imagem.

Passo 2

Para mostrar que T é linear basta tomar p,qin P2 e alpha,betainR e ver:
Tl(alpha p+beta qr) =l(alpha p+beta qr)+x^2l(alpha p'+beta q'r) =alphal(p+x^2p'r)+betal(q+x^2q'r) =alpha,T(p)+beta,T(q)
Logo T satisfaz a propriedade de aditividade e homogeneidade, ou seja, é linear.

Passo 3

Para encontrar ker(T) escrevemos um polinômio genérico de grau <=2:
p(x)=a x^2+b x+c,
p'(x)=2a x+b,
T(p(x))=p(x)+x^2p'(x) = a x^2+b x+c + x^2(2a x+b) =2a x^3+(a+b)x^2+b x+c
Impor T(p)=0 significa anular cada coeficiente:
2a=0, a+b=0, b=0, c=0 Longrightarrow a=b=c=0
Assim o único polinômio que vai para zero é o nulo.

Passo 4

Daí
ker(T)=0,
logo diml(ker(T)r)=0 e a base do núcleo é o conjunto vazio (é o subespaço trivial).

Passo 5

Para a imagem, usamos a base canônica de , , e calculamos:
Portanto
Esses três vetores são linearmente independentes em e geram a imagem.

Passo 6

Como Im(T) é gerado por três vetores independentes, temos
diml(Im(T)r)=3

Resposta

(a) é linear porque preserva soma e produto por escalar.
(b) , .
, .

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