Os Exercicios 17 a 20 referem-se ds matrizes A e B a seguir. Faça calculos apropriados para justificar suas respostas e mencione um teorems adequado.
A=[rrrr 1 & 3 & 0 & 3 -1 & -1 & -1 & 1 0 & -4 & 2 & -8 2 & 0 & 3 & -1 ] B=[rrrr 1 & 4 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & -4 0 & 2 & 6 & 7 2 & 9 & 5 & -7 ]
Todo vetor em R^prime pode ser escrito como uma combinaçào linear das colunas da matriz A? As colunas da matriz A geram R^prime ?

Passo 1

O enunciado pergunta se todo vetor de R^4 pode ser escrito como combinação linear das colunas da matriz
A= 1 & 3 & 0 & 3 -1 & -1 & -1 & 1 0 & -4 & 2 & -8 2 & 0 & 3 & -1
Isto equivale a perguntar se o espaço gerado pelas colunas de A é R^4. Para responder, vamos calcular o posto de A por eliminação de Gauss e usar o Teorema do Posto: as colunas geram R^4 se, e somente se, rank(A)=4.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para triangular A:
1 & 3 & 0 & 3 -1 & -1 & -1 & 1 0 & -4 & 2 & -8 2 & 0 & 3 & -1 ;xrightarrowL2 L2+L1,;L4 L4-2L1; 1 & 3 & 0 & 3 0 & 2 & -1 & 4 0 & -4 & 2 & -8 0 & -6 & 3 & -7
Em seguida, com L2 pivô em coluna 2, eliminamos abaixo:
L3 L3+2L2, L4 L4+3L2 ;longrightarrow; 1 & 3 & 0 & 3 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 5

Passo 3

Nesta forma escalonada claramente há pivôs em três colunas (colunas 1, 2 e 4). Logo
rank(A)=3<4

Passo 4

Pelo Teorema do Posto, o subespaço coluna de A tem dimensão 3, portanto não é todo R^4. Equivalente: A não é invertível, logo suas colunas não podem gerar R^4.

Resposta

Não. Como rank(A)=3<4, as colunas de A não geram R^4.

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