Seja
uma matriz. Calcule seu posto, nulidade e exiba os seus espaços fundamentais.
uma matriz. Calcule seu posto, nulidade e exiba os seus espaços fundamentais.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
que depende dos parâmetros
e
. Vamos calcular o posto , a nulidade e exibir bases para os quatro espaços fundamentais:
, ,
(espaço linha) e .]
Passo 2
Defina
. Então os elementos do numerador da matriz são
O determinante de
é
Logo
Passo 3
Caso
, isto é,
temos e .
As bases dos espaços fundamentais são triviais neste caso:
, ,
, .
As bases dos espaços fundamentais são triviais neste caso:
Passo 4
Se
mas
, então
e
, ou seja,
ou e
,
ou e
.
Em qualquer um desses subcasos verifica-se e .
ou
ou
Em qualquer um desses subcasos verifica-se e .
Uma base para
pode ser dada pela primeira coluna de
(numerador), isto é,
Para , resolvemos
. Tomando a relação da primeira linha:
Escolhendo
, obtemos
O espaço linha
coincide com
, e coincide com (pois em
).]
Passo 5
Se
e
(isto é,
e
), então todos os elementos de
são zero. Logo e .
Neste caso
,
,
,
.
Neste caso
,
.
Resposta
Dependendo de
e
, temos:
(a) Se
e
:
, .
, ,
, .
, .
(b) Se
mas não simultaneamente
e
:
, .
, .
e
, .
(c) Se
e
:
, .
, ,
, .]
, .