Seja
A=125[cc 9 m1+16(m1+m5+1) & -12(m5+1) -12(m5+1) & 16 m1+9(m1+m5+1) ]
uma matriz. Calcule seu posto, nulidade e exiba os seus espaços fundamentais.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
que depende dos parâmetros e . Vamos calcular o posto , a nulidade e exibir bases para os quatro espaços fundamentais: , , (espaço linha) e .]

Passo 2

Defina t = m5+1. Então os elementos do numerador da matriz são
a11 = 25m1+16t, a12 = -12,t, a22 = 25m1+9t
O determinante de A é
det(A) = 125^2l((25m1+16t)(25m1+9t)-(-12t)^2r) = 1625l(625m1^2+625m1tr) = m1(m1+t)
Logo
det(A)=m1,(m1+m5+1)

Passo 3

Caso , isto é,
temos e .
As bases dos espaços fundamentais são triviais neste caso:
, ,
, .

Passo 4

Se mas , então e , ou seja,
ou e ,
ou e .
Em qualquer um desses subcasos verifica-se e .
Uma base para pode ser dada pela primeira coluna de (numerador), isto é,
Para , resolvemos . Tomando a relação da primeira linha:
Escolhendo , obtemos
O espaço linha coincide com , e coincide com (pois em ).]

Passo 5

Se e (isto é, e ), então todos os elementos de são zero. Logo e .
Neste caso
,
,
,
.

Resposta

Dependendo de e , temos:
(a) Se e :
, .
, , , .
(b) Se mas não simultaneamente e :
, .
e , .
(c) Se e :
, .
, , , .]

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