Escolha uma e resolva.
Descreva um família de matrizes não diagonais tais que não tenham autovalores distintos, mas sejam diagonalizáveis.

Passo 1

O enunciado pede uma família de matrizes que não sejam diagonais, que tenham pelo menos um autovalor repetido (isto é, não tenham todos os autovalores distintos) e que, mesmo assim, sejam diagonalizáveis. Para isso vamos usar o conceito de diagonalização por semelhança: uma matriz A é diagonalizável se existe inversível P tal que
A = P,D,P^-1
com D diagonal.

Passo 2

Para garantir autovalores repetidos e diagonalização, escolhemos um autovalor lambda com multiplicidade algébrica 2 e outro mu diferente, de modo que
D = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & mu
já é diagonal e diagonalizável, com espaço próprio de lambda de dimensão geométrica 2 (iguais as duas primeiras colunas-canônico).

Passo 3

Se escolhermos qualquer matriz inversível P que não comute com D, a matriz
A = P,D,P^-1
continua tendo os mesmos autovalores de D (isto é, lambda com multiplicidade 2 e mu simples) e continua diagonalizável (porque é similar a D), mas em geral não será diagonal no base padrão.

Passo 4

Exemplo explícito: seja
D = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 , P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Então
P^-1 = 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 ,
e calculando
A = P,D,P^-1 = 2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ,
vemos que A não é diagonal, tem autovalores 2 (multiplicidade 2) e 3, e é diagonalizável porque foi construída por semelhança com D.

Passo 5

Em geral, a família desejada é
l,A = P lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & mu P^-1 ;|; P invertível e P não comuta com D,;lambdaneqmul íã
Cada A dessa forma tem autovalor lambda repetido, mas é diagonalizável e não é diagonal na base padrão.

Resposta

A família de todas as matrizes
A = P lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & mu P^-1,
onde lambdaneqmu e P é qualquer matriz invertível que não commute com a diagonal diag(lambda,lambda,mu). Essas matrizes têm lambda com multiplicidade algébrica 2, são diagonalizáveis (pois são similares a uma diagonal) e em geral não são diagonais na base canônica.

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