(Mackenzie-SP) Um casal planeja ter 4 filhos; admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos, a probabilidade de esse casal ter 2 meninos e 2 meninas, em qualquer ordem, é:
a) \frac{3}{8}
b) \frac{3}{4}
c) \frac{1}{2}
d) \frac{1}{16}
e) \frac{3}{16}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de ter exatamente dois meninos e duas meninas em quatro nascimentos, assumindo nascimentos independentes com probabilidade 1/2 para cada sexo. Vamos resolver usando a distribuição binomial.

Passo 2

Modelamos cada nascimento como uma variável de Bernoulli com parâmetro p=1/2 (sucesso = nascer menino, fracasso = nascer menina). Em quatro nascimentos, queremos exatamente k=2 sucessos.

Passo 3

O número de sequências de quatro filhos com exatamente dois meninos é dado por
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6.

Passo 4

Cada sequência específica de quatro nascimentos (por exemplo, menino-menina-menino-menina) tem probabilidade
\bigl(\tfrac12\bigr)^4 = \tfrac{1}{16}.
Somando sobre as 6 sequências favoráveis, a probabilidade procurada é
\binom{4}{2}\,\bigl(\tfrac12\bigr)^4 = 6 \times \tfrac{1}{16} = \tfrac{6}{16} = \tfrac{3}{8}.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac{3}{8}

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