Considere as transformações de campos para
\mathcal{S}^{\prime}
se movendo com velocidade
\vec{v}
(sem perda de generalidade assuma
\vec{v}=v \hat{x}
) com relação a
\mathcal{S}
. Mostre que:
Se B=0, então B^prime=-1c^2(v times E^prime) .

Passo 1

O enunciado quer que a gente considere duas bases inerciais S e S', sendo que S' se move com velocidade vec v=vhat x em relação a S. Precisamos usar as fórmulas de transformação de Lorentz para os campos elétrico e magnético e mostrar que, se em S temos vec B=0, então em S' surgirá vec B'=-1c^2l(vec vtimesvec E'r). O conteúdo aqui é transformação de campos eletromagnéticos.

Passo 2

As transformações de Lorentz para componentes paralelas e perpendiculares ao deslocamento vec v são:
E'paral<=l=Eparal<=l, E'perp=gammal(Eperp+vec vtimesvec Br)
B'paral<=l=Bparal<=l, B'perp=gammal(Bperp-tfrac1c^2,vec vtimesvec Er)
com gamma=1/raiz1-v^2/c^2.

Passo 3

Assumindo que em S vale vec B=0, as fórmulas ficam:
E'paral<=l=Eparal<=l, E'perp=gamma,Eperp
B'paral<=l=0, B'perp=-gamma,tfrac1c^2,vec vtimesvec E\

Passo 4

Precisamos agora expressar vec E em função de vec E'. Das duas componentes:
  • Para a parte paralela: Eparal<=l=E'paral<=l
  • Para a parte perpendicular: Eperp=E'perp/gamma

Passo 5

Logo o produto vetorial fica
vec vtimesvec E=vec vtimesl(Eparal<=l+Eperpr)=vec vtimesE'perpgamma=1gamma,vec vtimesvec E'
( vec vtimes Eparal<=l=0 porque Eparal<=l está na mesma direção de vec v).

Passo 6

Substituindo em B'perp=-gammatfrac1c^2(vec vtimesvec E) a expressão acima, temos
B'perp=-gammatfrac1c^2cdot1gamma(vec vtimesvec E')=-tfrac1c^2(vec vtimesvec E')
Como não há componente paralela, isso vale para todo vec B'.

Resposta

vec B'=-1c^2l(vec vtimesvec E'r).

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