Considere as transformações de campos para
\mathcal{S}^{\prime}
se movendo com velocidade
\vec{v}
(sem perda de generalidade assuma
\vec{v}=v \hat{x}
) com relação a
\mathcal{S}
. Mostre que:
Se , então .
Passo 1
O enunciado quer que a gente considere duas bases inerciais S e S', sendo que S' se move com velocidade vec v=vhat x em relação a S. Precisamos usar as fórmulas de transformação de Lorentz para os campos elétrico e magnético e mostrar que, se em S temos vec B=0, então em S' surgirá vec B'=-1c^2l(vec vtimesvec E'r). O conteúdo aqui é transformação de campos eletromagnéticos.
Passo 2
As transformações de Lorentz para componentes paralelas e perpendiculares ao deslocamento vec v são:
Precisamos agora expressar vec E em função de vec E'. Das duas componentes:
Para a parte paralela: Eparal<=l=E'paral<=l
Para a parte perpendicular: Eperp=E'perp/gamma
Passo 5
Logo o produto vetorial fica
vec vtimesvec E=vec vtimesl(Eparal<=l+Eperpr)=vec vtimesE'perpgamma=1gamma,vec vtimesvec E'
(vec vtimes Eparal<=l=0 porque Eparal<=l está na mesma direção de vec v).
Passo 6
Substituindo em B'perp=-gammatfrac1c^2(vec vtimesvec E) a expressão acima, temos
B'perp=-gammatfrac1c^2cdot1gamma(vec vtimesvec E')=-tfrac1c^2(vec vtimesvec E')
Como não há componente paralela, isso vale para todo vec B'.