A posição de uma partícula em função do tempo é dada por x(t)=5 t^2, onde x e t são medidos em metros e segundos, respectivamente. Considerando o movimento da partícula entre os instantes de tempo t=1 s e 3 s, determine a posição média da partícula e o instante de tempo em que a partícula está nesta posição média.

Passo 1

O enunciado diz que a posição de uma partícula varia segundo x(t)=5t^2 (em metros e segundos) e pede dois itens no intervalo de tempo de t=1,s a t=3,s: a posição média e o instante em que a partícula atinge essa posição média. O conteúdo principal aqui é o conceito de valor médio de uma função num intervalo e depois resolver x(t)=bar x para encontrar o instante correspondente.

Passo 2

Para calcular a posição média bar x de uma função contínua x(t) no intervalo [t1,t2] usamos a fórmula
bar x=1t2-t1integralt1^t2x(t),dt
Aqui t1=1 e t2=3, então
bar x=13-1integral1^35t^2,dt =12cdot5gl[t^33gr]1^3 =52(27-13) =52cdot263 =1306 =653,m

Passo 3

Agora precisamos achar o instante t tal que a partícula esteja em x=bar x=65/3,m. Basta resolver
5t^2=653
Isso dá
t^2=6515=133
Como estamos no intervalo [1,3], tomamos a raiz positiva
t=raiz133approx2,08,s

Resposta

A posição média da partícula no intervalo é 653,m e o instante em que ela está nessa posição é t=raiz13/3,sapprox2,08,s.

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