Usando
:
(a) mostre que a velocidade de uma partícula de massa
, inicialmente em repouso, sob a ação de uma força constante é
e calcule
para
.
(b) Integre
com a condição inicial
para obter a trajetória hiperbólica:
© [desafio] Faça um gráfico da trajetória e, observando seu limite assintótico para
, mostre que um fóton emitido em
, mas num instante
, nunca alcançará a partícula se
for maior que um certo valor
. Calcule
.
(a) mostre que a velocidade de uma partícula de massa
(b) Integre
Passo 1
Temos uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, sob ação de força constante F. O conteúdo aqui é dinâmica relativística unidimensional, onde usamos
. Vamos precisar da relação entre força e aceleração relativística e das integrais apropriadas para obter u(t) e x(t).
Passo 2
Em movimento unidimensional com força paralela à velocidade, vale
. Logo
Passo 3
Separamos variáveis e integramos de 0 a u e de 0 a t:
Passo 4
Sabendo que
Passo 5
Elevando ao quadrado e resolvendo para u, chegamos a
Passo 6
Para (b), integramos
com
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, obtenho
Passo 8
No desafio, para
, expandindo
com
, a trajetória fica assintoticamente
Passo 9
Um fóton emitido em
no instante
segue
. Para que nunca alcance a partícula, sua reta
deve ficar sempre abaixo da assíntota
. Isso impõe
Resposta
(a)
, com
quando
. (b)
© O tempo crítico é