Usando F=d p / d t=d(gamma(u) m u) / d t :
(a) mostre que a velocidade de uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, sob a ação de uma força constante é
u(t)=F t / mraiz1+(F t / m c)^2
e calcule u para t infty.
(b) Integre u(t) com a condição inicial x(0)=0 para obter a trajetória hiperbólica:
x(t)=m c^2F(raiz1+(F t / m c)^2-1)
© [desafio] Faça um gráfico da trajetória e, observando seu limite assintótico para t gg m c / F, mostre que um fóton emitido em x=0, mas num instante t0, nunca alcançará a partícula se t0 for maior que um certo valor tm i n. Calcule t min .

Passo 1

Temos uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, sob ação de força constante F. O conteúdo aqui é dinâmica relativística unidimensional, onde usamos vec F=dfracddt(mgamma u). Vamos precisar da relação entre força e aceleração relativística e das integrais apropriadas para obter u(t) e x(t).

Passo 2

Em movimento unidimensional com força paralela à velocidade, vale F=dfracddt(mgamma u)=mgamma^3dfracdudt. Logo
dfracdudt=dfracFm,(1-tfracu^2c^2)^3/2

Passo 3

Separamos variáveis e integramos de 0 a u e de 0 a t:
t=dfracmFintegral0^u(1-tfracu'^2c^2)^-3/2du'

Passo 4

Sabendo que
dfracddul(dfracuraiz1-u^2/c^2r)=(1-tfracu^2c^2)^-3/2,obtém-se
t=dfracmF,dfracuraiz1-u^2/c^2LongrightarrowdfracF tm=dfracuraiz1-u^2/c^2

Passo 5

Elevando ao quadrado e resolvendo para u, chegamos a
u(t)=dfracF tmraiz1+l(tfracF tm cr)^2,,e no limite ttoinfty temos uto c.

Passo 6

Para (b), integramos u(t)=dfracdxdt com x(0)=0:
x(t)=integral0^t(F/m),t'raiz1+l(tfracF t'm cr)^2,dt'

Passo 7

Fazendo a substituição z=tfracF t'm c, obtenho
x(t)=m c^2Fl(raiz1+l(tfracF tm cr)^2-1r)

Passo 8

No desafio, para tgg m c/F, expandindo raiz1+y^2approx y+1/(2y) com y=F t/(m c), a trajetória fica assintoticamente
x(t)approx c,t-m c^2F

Passo 9

Um fóton emitido em x=0 no instante t0 segue xgamma=c(t-t0). Para que nunca alcance a partícula, sua reta xgamma=c t-c t0 deve ficar sempre abaixo da assíntota c t-tfracm c^2F. Isso impõe
c t-c t0<= c t-m c^2FLongrightarrow t0>=m cF

Resposta

(a) u(t)=dfrac(F/m),traiz1+(Ft/mc)^2, com uto c quando ttoinfty. (b) x(t)=dfracm c^2Fl(raiz1+(Ft/mc)^2-1r) © O tempo crítico é tmin=dfracm cF

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