Duas partículas descrevem movimentos unidimensionais de acordo com xA(t)=5+46 / 33 t+31 / 13 t^2 e xB(t)=3+99 / 13 t-13 / 45 t^2. Em que instante de tempo as duas partículas se encontram e em que posição isto ocorre?

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias unidimensionais das partículas A e B:
A: x_A(t)=5+\frac{46}{33}t+\frac{31}{13}t^2 e B: x_B(t)=3+\frac{99}{13}t-\frac{13}{45}t^2. Precisamos achar os instantes em que elas têm a mesma posição, ou seja, resolver x_A(t)=x_B(t).

Passo 2

Igualando as duas expressões e levando tudo para um lado, temos:
5+4633t+3113t^2 =3+9913t-1345t^2
que fica

Passo 3

Agrupando os termos em t^2, t e constantes, obtemos a equação de segundo grau:
1564585t^2 - 2669429t + 2 = 0
onde identificamos a=\frac{1564}{585}, b=-\frac{2669}{429} e c=2.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a = tfrac2669429 pm raizl(tfrac2669429r)^2 - 4cdottfrac1564585cdot22cdottfrac1564585
Calculando numericamente, surgem duas soluções: t_1\approx0{,}385,\mathrm{s} e t_2\approx1{,}942,\mathrm{s}.

Passo 5

Para cada instante, substituímos em x_A(t) (poderíamos usar x_B sem diferença) e achamos as posições:
x(0,385)approx5,89, x(1,942)approx16,70

Resposta

As partículas se encontram em t≈0,385 s em x≈5,89 e em t≈1,942 s em x≈16,70.

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