Considere as transformações lineares T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2, dadas por T(x, y)=(2 x+y, x-y) e S(x, y)=(x-y, 3 y). Determine S(T(x, y) e escreva a expressão da composição S circ T.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares Tcolon R^2toR^2 e Scolon R^2toR^2, definidas por
T(x,y) = (2x + y,; x - y),
S(u,v) = (u - v,; 3v)
Queremos encontrar a composição Scirc T, isto é, a aplicação S(T(x,y)).

Passo 2

Vamos primeiro escrever o vetor intermediário T(x,y). Chamando
(u,v) = T(x,y),
temos
u = 2x + y, v = x - y

Passo 3

Agora aplicamos S ao par (u,v). Substituindo u=2x+y e v=x-y em S(u,v)=(u-v,;3v), vem
Sl(2x+y,;x-yr) = l((2x+y)-(x-y),;3(x-y)r)
Em seguida simplificamos as componentes:
(2x+y-x+y,;3x-3y) = (x+2y,;3x-3y)

Passo 4

Portanto a composição Scirc T é a transformação que leva (x,y) em
(Scirc T)(x,y) = (x + 2y,;3x - 3y)

Resposta

S(T(x,y)) = (x + 2y,;3x - 3y),
ou seja,
Scirc T: (x,y) mapsto (x+2y,;3x-3y)

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