Sejam T1 e T2 transformações lineares definidas pelas matrizes:
A1=[ll 2 & 1 0 & 3 ] A2=[ll 1 & 0 2 & 1 ]
Caso seja invertível, encontre a matriz inversa de T2 circ T1.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares T1 e T2 em R^2, cujas matrizes são
A1 = 2 & 1 0 & 3
A2 = 1 & 0 2 & 1
e pede a inversa de T2circ T1. Como a matriz de T2circ T1 é A = A2A1, vamos usar composição de matrizes, calcular o determinante para ver se é invertível, e aplicar a propriedade
(A2A1)^-1 = A1^-1A2^-1

Passo 2

Calculamos a matriz da composição:
A = A2A1 = 1 & 0 2 & 1 2 & 1 0 & 3 = 1cdot 2 + 0cdot 0 & 1cdot 1 + 0cdot 3 2cdot 2 + 1cdot 0 & 2cdot 1 + 1cdot 3 = 2 & 1 4 & 5

Passo 3

Verificamos o determinante de A:
det(A) = 2cdot 5 - 1cdot 4 = 10 - 4 = 6 neq 0,
logo A é invertível.

Passo 4

Usamos (A2A1)^-1 = A1^-1A2^-1. Primeiro
det(A1) = 2cdot 3 - 1cdot 0 = 6, A1^-1 = 163 & -1 0 & 2
Depois
det(A2) = 1cdot 1 - 0cdot 2 = 1, A2^-1 = 1 & 0 -2 & 1

Passo 5

Multiplicamos A1^-1A2^-1:
A^-1 = A1^-1A2^-1 = 163 & -1 0 & 2 1 & 0 -2 & 1 = 16 3cdot1 + (-1)cdot(-2) & 3cdot0 + (-1)cdot1 0cdot1 + 2cdot(-2) & 0cdot0 + 2cdot1 = 56 & -16 -23 & 13

Resposta

(T2circ T1)^-1 = (A2A1)^-1 = 56 & -16 -23 & 13

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