Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
- Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
é injetora? Justifique.
- Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
- Quais dos seguintes vetores
pertencem ao núcleo de
na letra b.
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear
definida por
. A matéria aqui é sobre transformações lineares, e vamos precisar entender conceitos como núcleo (ker T), imagem (im T), injetora e sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de [T), ou seja, todos os vetores
em
que satisfazem
.
Isso significa resolver o sistema:
Da primeira equação, temos .
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como
. Portanto, uma base para o núcleo é
e sua dimensão é 1.
Como o núcleo contém apenas o vetor zero além dessa base, a transformação
é injetora? Não, porque o núcleo não é apenas o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem de
, ou seja, todos os vetores em
que são possíveis de obter com
.
A imagem é gerada pelos vetores
,
e
.
Vamos ver se esses vetores são lineares independentes. Observamos que
pode ser obtido como soma de
e
, então a base da imagem é
e sua dimensão é 2.
Como a imagem é todo
, a transformação
é sobrejetora.
Passo 4
Por último, vamos verificar quais dos vetores
,
e
pertencem ao núcleo de
.
Para um vetor estar no núcleo, ele deve satisfazer
.
- Para
:
Não está no núcleo.
- Para
:
Está no núcleo.
- Para
:
Não está no núcleo.
Resposta
-
Núcleo de
: , base , dimensão 1. não é injetora. -
Imagem de
: , base , dimensão 2. é sobrejetora. -
Vetores no núcleo de
: Apenas pertence ao núcleo.