Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
  • Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
  • Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
  • Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
    T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(x=y, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear T: R^3 to R^2 definida por T(x, y, z) = (x - y, y + z) . A matéria aqui é sobre transformações lineares, e vamos precisar entender conceitos como núcleo (ker T), imagem (im T), injetora e sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de [T), ou seja, todos os vetores em que satisfazem .
Isso significa resolver o sistema:
Da primeira equação, temos .
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como . Portanto, uma base para o núcleo é e sua dimensão é 1.
Como o núcleo contém apenas o vetor zero além dessa base, a transformação é injetora? Não, porque o núcleo não é apenas o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem de T , ou seja, todos os vetores em R^2 que são possíveis de obter com T(x, y, z) .
A imagem é gerada pelos vetores T(1, 0, 0) = (1, 0) , T(0, 1, 0) = (-1, 1) e T(0, 0, 1) = (0, 1) .
Vamos ver se esses vetores são lineares independentes. Observamos que (0, 1) pode ser obtido como soma de (1, 0) e (-1, 1) , então a base da imagem é (1, 0), (-1, 1) e sua dimensão é 2.
Como a imagem é todo R^2 , a transformação T é sobrejetora.

Passo 4

Por último, vamos verificar quais dos vetores (1, -1, 1) , (0, 0, 0) e (-3, 3, 3) pertencem ao núcleo de T .
Para um vetor estar no núcleo, ele deve satisfazer T(x, y, z) = (0, 0) .
  • Para (1, -1, 1) :
T(1, -1, 1) = (1 - (-1), -1 + 1) = (2, 0) neq (0, 0)
Não está no núcleo.
  • Para (0, 0, 0) :
T(0, 0, 0) = (0 - 0, 0 + 0) = (0, 0)
Está no núcleo.
  • Para (-3, 3, 3) :
T(-3, 3, 3) = (-3 - 3, 3 + 3) = (-6, 6) neq (0, 0)
Não está no núcleo.

Resposta

  1. Núcleo de T : ker T = y(1, 1, -1) mid y in R , base (1, 1, -1) , dimensão 1. T não é injetora.
  2. Imagem de T : im T = R^2 , base (1, 0), (-1, 1) , dimensão 2. T é sobrejetora.
  3. Vetores no núcleo de T : Apenas (0, 0, 0) pertence ao núcleo.

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