Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
  • Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
  • Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
  • Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
    T: M2(R) longrightarrow R^4 dada por T(lla & b c & d)=(a+b, 2 c, b+c-d, a-b+2 d).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma transformação linear T: M2(R) R^4 definida por
T(lla & b c & d) = (a+b, 2c, b+c-d, a-b+2d)
A gente precisa descobrir três coisas para essa transformação:
  1. O núcleo de T (todos os elementos que são mapeados para o vetor zero), encontrar uma base para ele e sua dimensão. Também precisamos dizer se T é injetora.
  2. A imagem de T (todos os possíveis vetores em R^4 que podem ser alcançados por T ), encontrar uma base para ela e sua dimensão. Também dizer se T é sobrejetora.
  3. Verificar quais dos vetores (1,-1,1), (0,0,0) e (-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Encontrando o Núcleo de [T)
O núcleo de é o conjunto de todas as matrizes que são mapeadas para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as variáveis (a, b, c, d].

Passo 3

Resolvendo o Sistema de Equações
Vamos resolver as equações uma a uma:
  1. Da primeira equação: a + b = 0 Rightarrow a = -b .
  2. Da segunda equação: 2c = 0 Rightarrow c = 0 .
  3. Da terceira equação: b + c - d = 0 . Sabemos que c = 0 , então:
b - d = 0 Rightarrow d = b
  1. Da quarta equação: a - b + 2d = 0 . Substituindo a = -b e d = b :
(-b) - b + 2b = 0 Rightarrow -b - b + 2b = 0 Rightarrow 0 = 0
Essa equação não nos dá nenhuma informação nova.
Então, temos:
a = -b, c = 0, d = b
Isso significa que o núcleo é formado por todas as matrizes do tipo:
-b & b 0 & b = b -1 & 1 0 & 1 ,
onde b pode ser qualquer número real.

Passo 4

Base e Dimensão do Núcleo
Como todas as matrizes no núcleo são múltiplos da matriz -1 & 1 0 & 1 , isso significa que o núcleo é um subespaço gerado por essa única matriz.
Portanto:
  • Base do Núcleo: -1 & 1 0 & 1
  • Dimensão do Núcleo: 1

Passo 5

T é Injetora?
Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero. No nosso caso, o núcleo contém todas as matrizes múltiplas de -1 & 1 0 & 1 , ou seja, não apenas a matriz zero.
Portanto, T não é injetora.

Passo 6

Encontrando a Imagem de T
A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em R^4 que podem ser escritos como T(lla & b c & d) = (a+b, 2c, b+c-d, a-b+2d) .
Para encontrar uma base para a imagem, podemos expressar os componentes como combinações lineares das variáveis a, b, c, d :
x1 = a + b x2 = 2c x3 = b + c - d x4 = a - b + 2d
Podemos escrever isso em forma matricial como:
x1 x2 x3 x4 = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 & 2 a b c d
Para encontrar a base da imagem, precisamos determinar as colunas que são linearmente independentes dessa matriz.

Passo 7

Determinação da Base da Imagem
Vamos observar as colunas da matriz de transformação:
1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 & 2
Para encontrar uma base da imagem, identificamos um conjunto de colunas linearmente independentes. Vamos ver se as primeiras três colunas são independentes:
  1. Coluna 1: 1 0 0 1
  2. Coluna 2: 1 0 1 -1
  3. Coluna 3: 0 2 1 0
Vamos verificar se alguma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das anteriores:
  • A coluna 2 não é múltiplo da coluna 1.
  • A coluna 3 não pode ser escrita como combinação das colunas 1 e 2.
Portanto, as três primeiras colunas são linearmente independentes e formam uma base para a imagem.
  • Base da Imagem:
1 0 0 1 , 1 0 1 -1 , 0 2 1 0
  • Dimensão da Imagem: 3

Passo 8

T é Sobrejetora?
Para que T seja sobrejetora, a imagem de T deve ser todo o espaço R^4 . Mas vimos que a dimensão da imagem é 3, o que significa que há apenas 3 dimensões sendo cobertas em R^4 .
Portanto, T não é sobrejetora.

Passo 9

Verificando os Vetores no Núcleo de T
Queremos saber quais dos seguintes vetores pertencem ao núcleo de T na letra b:
(1, -1, 1), (0, 0, 0), (-3, 3, 3)
Lembrando que o núcleo de T na letra b é formado por matrizes -b & b 0 & b .
No entanto, percebemos que na letra b estamos falando da imagem, mas a questão menciona o núcleo na letra b. Vamos supor que seja para verificar se esses vetores estão no núcleo que encontramos.
Como o núcleo é um conjunto de matrizes, mas os vetores fornecidos são em R^3 , parece haver uma confusão. Talvez seja para verificar na imagem. Mas seguindo a instrução, vamos considerar que queremos verificar se esses vetores estão no núcleo.
Para um vetor (x1, x2, x3) estar no núcleo, ele deve satisfazer as equações que definem o núcleo.
Considerando que houve uma possível confusão, manteremos que os vetores não se encaixam diretamente no núcleo que é um conjunto de matrizes. Assim, podemos concluir que nenhum desses vetores pertence ao núcleo de T .

Resposta

Resumindo tudo:
  1. Núcleo de T : É formado por todas as matrizes da forma -b & b 0 & b , com b real.
    • Base: -1 & 1 0 & 1
    • Dimensão: 1
    • T não é injetora.
  2. Imagem de T : É um subespaço de R^4 gerado por três vetores linearmente independentes.
    • Base:
1 0 0 1 , 1 0 1 -1 , 0 2 1 0
  • Dimensão: 3
  • T não é sobrejetora.
  1. Verificação dos Vetores:
    • Nenhum dos vetores (1,-1,1), (0,0,0), e (-3,3,3) pertence ao núcleo de T .

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