Considere as transformações lineares a seguir. Para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. é injetora? Justifique.
Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
Quais dos seguintes vetores pertencem ao núcleo de na letra b. dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A gente vai precisar entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear, além de saber como determinar se a transformação é injetora (quando cada entrada tem uma saída única) ou sobrejetora (quando todo o espaço de chegada é atingido pela transformação). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação . O núcleo é o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver a equação .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começando pela terceira equação, temos z = 0 .
Com z = 0 , a segunda equação fica:
x + 0 = 0 Rightarrow x = 0
A quarta equação com z = 0 fica:
y - 0 = 0 Rightarrow y = 0
E a primeira equação já está satisfeita porque x = y = z = 0 .
Portanto, temos:
x = 0, y = 0, z = 0
O valor de w não está restrito por nenhuma equação, então ele pode ser qualquer número real.
Passo 4
Isso significa que o núcleo de T é composto por todos os vetores da forma (0, 0, 0, w) , onde w pode ser qualquer número real. Podemos expressar o núcleo como:
Núc<=o(T) = , (0, 0, 0, w) mid w in R , ú
Uma base para o núcleo é simplesmente o vetor que gera esse espaço, que no caso é (0, 0, 0, 1) .
Como a base tem um vetor, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 5
Agora, vamos determinar se T é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero.
No nosso caso, o núcleo de T inclui todos os vetores da forma (0, 0, 0, w) , onde w pode ser diferente de zero. Isso significa que o núcleo não é apenas o vetor zero.
Portanto, T não é injetora.
Passo 6
Vamos agora encontrar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor de R^4 .
Para encontrar a imagem, vamos olhar para as colunas da matriz representativa de T :
T(x, y, z, w) = 1 & -2 & 3 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 0 x y z w
Vamos ver quais colunas são linearmente independentes.
Passo 7
Observando a matriz, vemos que as colunas correspondentes a x , y e z são:
1 1 0 0 , -2 0 0 1 , 3 1 1 -1
A quarta coluna é zero para todas as transformações, então ela não contribui para a imagem.
Vamos verificar se as três colunas são linearmente independentes. Se não forem, identificamos uma base menor.
Após análise, percebemos que a terceira coluna pode ser expressa como uma combinação das duas primeiras:
Portanto, as três colunas são linearmente independentes.
Passo 8
Assim, uma base para a imagem de T é formada pelas três primeiras colunas da matriz de T :
, 1 1 0 0, -2 0 0 1, 3 1 1 -1 ,
A dimensão da imagem é 3, já que temos três vetores na base.
Passo 9
Para verificar se T é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de T é o próprio R^4 . Como a dimensão da imagem é 3, que é menor que a dimensão de R^4 , a imagem não cobre todo o espaço de chegada.
Portanto, T não é sobrejetora.
Passo 10
Por fim, vamos verificar quais dos vetores (1,-1,1) , (0,0,0) , (-3,3,3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
Sabemos que o núcleo de T é:
Núc<=o(T) = , (0, 0, 0, w) mid w in R , ú
Ou seja, apenas vetores onde as três primeiras coordenadas são zero estão no núcleo.
(1, -1, 1) : As primeiras três coordenadas não são todas zero. Não pertence ao núcleo.
(0, 0, 0) : As três primeiras coordenadas são zero. Pertence ao núcleo.
(-3, 3, 3) : As primeiras três coordenadas não são todas zero. Não pertence ao núcleo.
Resposta
Somente o vetor (0, 0, 0) pertence ao núcleo de T .