Mostre que o operador linear T: C(R) C(R) definido por
T(u)(x)=integral0^x u(s) d s, x in R
não tem autovalores.

Passo 1

O enunciado apresenta o operador linear
T: C(R) to C(R), T(u)(x) = integral0^x u(s),ds,
e pede para mostrar que não existe lambdainR e unotequiv0 tais que
T(u)(x) = lambda,u(x) para todo xinR
Ou seja, queremos provar que T não tem autovalores.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista lambda e unotequiv0 em C(R) com
integral0^xu(s),ds ;=;lambda,u(x) forall xinR
Se lambda=0, isso dá integral0^xu(s),ds=0 para todo x, e diferenciando obtemos u(x)=0, contradição com unotequiv0. Logo lambdaneq0.

Passo 3

Como u é contínua, a integral integral0^xu(s),ds é diferenciável e, derivando a relação integral, vem
u(x) = ddx!l(lambda,u(x)r) = lambda,u'(x),
isto é,
lambda,u'(x) = u(x) Longrightarrow u'(x) = 1lambda,u(x)
Esse é um EDO de separação de variáveis.

Passo 4

A solução geral do EDO u' = tfrac1lambda u é
u(x) = C,e^,x/lambda,
onde C = u(0). Vamos impor agora a condição integral original:
integral0^xu(s),ds = Cintegral0^xe^,s/lambda,ds = C,lambdal(e^,x/lambda-1r)
Por outro lado, lambda,u(x)=lambda C,e^,x/lambda. Igualando as duas expressões,
C,lambdal(e^,x/lambda-1r) =lambda,C,e^,x/lambda ;Longrightarrow; C,lambdal(-1r)=0 ;Longrightarrow; C=0
(supondo lambdaneq0). Logo u(x)equiv0, o que contradiz a hipótese de u ser vetor próprio não nulo.

Resposta

Olhando todos os casos, a única solução é uequiv0. Portanto não existem autovalores não triviais para T.

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