Mostre que o operador linear
definido por
não tem autovalores.
não tem autovalores.
Passo 1
O enunciado apresenta o operador linear
e pede para mostrar que não existe
e
tais que
Ou seja, queremos provar que
não tem autovalores.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista
e
em
com
Se
, isso dá
para todo
, e diferenciando obtemos
, contradição com
. Logo
.
Passo 3
Como
é contínua, a integral
é diferenciável e, derivando a relação integral, vem
isto é,
Esse é um EDO de separação de variáveis.
Passo 4
A solução geral do EDO
é
onde
. Vamos impor agora a condição integral original:
Por outro lado,
. Igualando as duas expressões,
(supondo
). Logo
, o que contradiz a hipótese de
ser vetor próprio não nulo.
Resposta
Olhando todos os casos, a única solução é
. Portanto não existem autovalores não triviais para
.