Exiba uma matriz A não diagonalizável tal que a matriz A^2 seja diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz A que não seja diagonalizável, mas cuja matriz ao quadrado A^2 seja diagonalizável. Para isso vamos usar um bloco de Jordan de ordem 2 com autovalor zero, pois esse bloco não é diagonalizável mas seu quadrado vira a matriz nula, que é diagonal.

Passo 2

Escolhemos
A = 0 & 1 0 & 0
Essa matriz tem único autovalor lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
Para verificar que não é diagonalizável, basta notar que o espaço próprio de lambda=0 tem dimensão 1 (qualquer vetor próprio é múltiplo de 10), insuficiente para formar uma base de R^2.

Passo 3

Calculamos
A^2 = 0 & 1 0 & 0 ^2 = 0cdot0+1cdot0 & 0cdot1+1cdot0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Como a matriz zero é já diagonal (todos os seus autovalores são zero e há duas direções próprias independentes), ela é diagonalizável.

Resposta

Uma escolha é
A = 0 & 1 0 & 0 ,
que não é diagonalizável enquanto
A^2 = 0 & 0 0 & 0
é diagonalizável.

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