Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} um operador diagonalizável, ou seja, existe uma base B=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} de \mathbb{R}^{n} formada pelos autovetores de B. As colunas da matriz M é formada pelas coordenadas dos vetores v_{i} e, além disso, (T)_{C}=M(T)_{B} M^{-1}, em que (T)_{C} é matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{n}. Para cada matriz abaixo, encontre (se poissível) a matriz M.
(T)_{C}=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2:
(T)_C = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix},
e pede, se possível, a matriz de mudança de base M cujas colunas são autovetores de (T)_C, de modo que
M^{-1}(T)_C\,M = D
seja diagonal. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e verificar se há autovetores reais suficientes.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de (T)_C:
\det\bigl((T)_C - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 2 \\\\ -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - (2)(-2).
Expandindo,
(3-\lambda)(1-\lambda) + 4 = 3 -3\lambda -\lambda + \lambda^2 +4 = \lambda^2 -4\lambda +7.

Passo 3

As raízes de \lambda^2 -4\lambda +7 = 0 são
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 -28}}{2} = 2 \pm i\sqrt{3}.
Como o discriminante é negativo, todos os autovalores são complexos não reais. Logo, não há autovetores em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Sem autovalores reais não existem autovetores reais formando base de \mathbb{R}^2. Portanto, (T)_C não é diagonalizável sobre \mathbb{R} e não existe matriz real M tal que M^{-1}(T)_C M seja diagonal.

Resposta

Não existe matriz real M que diagonalize \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix} em \mathbb{R}^2.

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