Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} um operador diagonalizável, ou seja, existe uma base B=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} de \mathbb{R}^{n} formada pelos autovetores de B. As colunas da matriz M é formada pelas coordenadas dos vetores v_{i} e, além disso, (T)_{C}=M(T)_{B} M^{-1}, em que (T)_{C} é matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{n}. Para cada matriz abaixo, encontre (se poissível) a matriz M. (T)_{C}=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2:
Como o discriminante é negativo, todos os autovalores são complexos não reais. Logo, não há autovetores em \mathbb{R}^2.
Passo 4
Sem autovalores reais não existem autovetores reais formando base de \mathbb{R}^2. Portanto, (T)_C não é diagonalizável sobre \mathbb{R} e não existe matriz real M tal que M^{-1}(T)_C M seja diagonal.
Resposta
Não existe matriz real M que diagonalize \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix} em \mathbb{R}^2.