Considere a transformada linear T: R^3 R^3, definida por
T(x1, x2, x3)=(x1-2 x3, 2 x1+x2-x3, 3 x1-3 x2+2 x3)
encontre a matriz canônica A, associada à T;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a matriz canônica A de uma transformação linear T: R^3 R^3. A transformação T tá definida por:
T(x1, x2, x3) = (x1 - 2x3, 2x1 + x2 - x3, 3x1 - 3x2 + 2x3)
Basicamente, precisamos descobrir qual é a matriz que representa essa transformação. Vamos precisar entender o que é uma matriz canônica e como ela se relaciona com transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz canônica de uma transformação linear. Quando temos uma transformação linear T: R^n R^m, a matriz canônica A de T é aquela que, quando multiplicada por um vetor coluna x, dá o mesmo resultado que aplicar a transformação T ao vetor x. Ou seja:
T(x) = A cdot x
Para encontrar essa matriz, a gente normalmente aplica a transformação T aos vetores da base canônica e usa os resultados como colunas da matriz A.

Passo 3

Vamos identificar a base canônica de R^3. Os vetores da base canônica são:
e1 = 100, e2 = 010, e3 = 001
Agora, vamos aplicar a transformação T a cada um desses vetores.
  1. Aplicando T a e1:
T(e1) = T(1, 0, 0) = (1 - 2cdot0, 2cdot1 + 0 - 0, 3cdot1 - 3cdot0 + 2cdot0) = (1, 2, 3)
  1. Aplicando T a e2:
T(e2) = T(0, 1, 0) = (0 - 2cdot0, 2cdot0 + 1 - 0, 3cdot0 - 3cdot1 + 2cdot0) = (0, 1, -3)
  1. Aplicando T a e3:
T(e3) = T(0, 0, 1) = (0 - 2cdot1, 2cdot0 + 0 - 1, 3cdot0 - 3cdot0 + 2cdot1) = (-2, -1, 2)

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base canônica, vamos montar a matriz A. Cada coluna de A será a imagem correspondente de cada vetor da base.
Então, a matriz A fica assim:
A = 1 & 0 & -2 2 & 1 & -1 3 & -3 & 2

Resposta

A matriz canônica A associada à transformação T é:
A = 1 & 0 & -2 2 & 1 & -1 3 & -3 & 2

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