Verifique se a transformada
, definida por
é linear. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses critérios à transformação
.
Passo 2
Primeiro, uma transformação
é dita linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os vetores
e todo escalar
:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas propriedades para a transformação
.
Verificando a adição vetorial:
Seja
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
não é igual a
em geral. Portanto, a propriedade da adição vetorial não é satisfeita.
Verificando a multiplicação por escalar:
Para um escalar
e vetor
:
Calculando
:
Calculando
:
Novamente,
não é igual a
em geral, a menos que
seja muito pequeno (o que não podemos assumir). Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
não satisfaz as propriedades fundamentais de linearidade, ela não é uma transformação linear.