Verifique se a transformada T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(sen x, y) é linear. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a transformação T: R^2 R^2 , definida por T(x, y) = (sin x, y) , é linear. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e aplicar esses critérios à transformação T .

Passo 2

Primeiro, uma transformação T é dita linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais para todos os vetores u, v e todo escalar c :
  1. Adição Vetorial: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u)
Vamos verificar essas propriedades para a transformação T(x, y) = (sin x, y) .
Verificando a adição vetorial:
Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Calculando T(u + v) :
T(x1 + x2, y1 + y2) = (sin(x1 + x2), y1 + y2)
Calculando T(u) + T(v) :
T(x1, y1) + T(x2, y2) = (sin x1, y1) + (sin x2, y2) = (sin x1 + sin x2, y1 + y2)
Observamos que sin(x1 + x2) não é igual a sin x1 + sin x2 em geral. Portanto, a propriedade da adição vetorial não é satisfeita.
Verificando a multiplicação por escalar:
Para um escalar c e vetor u = (x, y) :
Calculando T(cu) :
T(cx, cy) = (sin(cx), cy)
Calculando cT(u) :
c(sin x, y) = (csin x, cy)
Novamente, sin(cx) não é igual a csin x em geral, a menos que c seja muito pequeno (o que não podemos assumir). Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.

Resposta

Como a transformação T(x, y) = (sin x, y) não satisfaz as propriedades fundamentais de linearidade, ela não é uma transformação linear.

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