Dada a transformação linear T: R^3 R^4, dada por T(x, y, z)=(x+2 y- z, 0, y+z, x+y-2 z).
a) Encontre [T]beta^alpha, considere alpha e beta bases canônicas.
b) Obtenha subespaço núcleo de T e sua dimensão.
b) Qual a dimensão da imagem de T. T é injetiva e sobrejetiva?
c) T é bijetiva?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^4
por
T(x,y,z) = (,x+2y - z,;0,;y+z,;x+y-2z,)
Como alpha é a base canônica de R^3 e beta a base canônica de R^4, precisamos (a) montar a matriz de T nessas bases, (b) achar ker T e dimker T, (c) achar dimIm T e verificar injetividade e sobrejetividade, e (d) concluir sobre bijetividade.

Passo 2

Para obter [T]beta^alpha, calculamos T(e1), T(e2) e T(e3), onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1)=T(1,0,0) = (1,0,0,1), T(e2)=T(0,1,0) = (2,0,1,1), T(e3)=T(0,0,1) = (-1,0,1,-2)
Esses vetores formam as colunas da matriz em blocos:
[T]beta^alpha = 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2

Passo 3

Para , resolvemos
As equações não triviais são
Da segunda vem . Substituindo na primeira: , ou seja . A terceira fica automaticamente satisfeita. Logo
e .

Passo 4

Pelo teorema da dimensão (nulidade + posto = dimensão do domínio),
dimIm T = 3 - dimker T = 3 - 1 = 2
Como dimker Tneq0, T não é injetiva. E como dimIm T =2<4, T não é sobrejetiva.

Resposta

a)
b)
, .
c)
.
não é injetiva (pois ) e não é sobrejetiva (pois ).
d)
não é bijetiva.

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