Dada a transformação linear , dada por .
a) Encontre , considere e bases canônicas.
b) Obtenha subespaço núcleo de T e sua dimensão.
b) Qual a dimensão da imagem de T. T é injetiva e sobrejetiva?
c) T é bijetiva?
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Como é a base canônica de e a base canônica de , precisamos (a) montar a matriz de nessas bases, (b) achar e , (c) achar e verificar injetividade e sobrejetividade, e (d) concluir sobre bijetividade.
Passo 2
Para obter , calculamos , e , onde , , :
Esses vetores formam as colunas da matriz em blocos:
Passo 3
Para , resolvemos
As equações não triviais são
Da segunda vem . Substituindo na primeira: , ou seja . A terceira fica automaticamente satisfeita. Logo
e .
Passo 4
Pelo teorema da dimensão (nulidade + posto = dimensão do domínio),
dimIm T = 3 - dimker T = 3 - 1 = 2
Como dimker Tneq0, T não é injetiva. E como dimIm T =2<4, T não é sobrejetiva.
Resposta
a)
b)
, .
c) . não é injetiva (pois ) e não é sobrejetiva (pois ).