Considere a transformada linear T: R^3 R^3, definida por
T(x1, x2, x3)=(x1-2 x3, 2 x1+x2-x3, 3 x1-3 x2+2 x3)
verifique as colunas dessa matriz são L.I. ou L.D…

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por:
T(x1, x2, x3)=(x1-2 x3,, 2 x1+x2-x3,, 3 x1-3 x2+2 x3)
Nosso objetivo é verificar se as colunas da matriz dessa transformação são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como representá-la em matriz e o conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada à transformação linear T . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica e1, e2, e3 sob a transformação T .
Aplicando T a cada vetor da base:
  • T(1, 0, 0) = (1 - 0, 2 cdot 1 + 0 - 0, 3 cdot 1 - 0 + 0) = (1, 2, 3)
  • T(0, 1, 0) = (0 - 0, 2 cdot 0 + 1 - 0, 3 cdot 0 - 3 cdot 1 + 0) = (0, 1, -3)
  • T(0, 0, 1) = (0 - 2 cdot 1, 2 cdot 0 + 0 - 1, 3 cdot 0 - 3 cdot 0 + 2 cdot 1) = (-2, -1, 2)
Então, a matriz de T é:
A = 1 & 0 & -2 2 & 1 & -1 3 & -3 & 2

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as colunas dessa matriz são linearmente independentes ou dependentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 cdot 1 & -1 -3 & 2 - 0 cdot 2 & -1 3 & 2 + (-2) cdot 2 & 1 3 & -3
Calculando os menores:
1 & -1 -3 & 2 = (1)(2) - (-1)(-3) = 2 - 3 = -1
2 & 1 3 & -3 = (2)(-3) - (1)(3) = -6 - 3 = -9
Substituindo na expressão do determinante:
det(A) = 1 cdot (-1) - 0 cdot () + (-2) cdot (-9) = -1 + 0 + 18 = 17

Passo 4

Como o determinante de A é 17 , que é diferente de zero, concluímos que as colunas da matriz A são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.

Resposta

As colunas da matriz são linearmente independentes.

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