Considere três barras com a mesma temperatura inicial,
. A primeira e a segunda barra têm o mesmo comprimento inicial,
, sendo a primeira feita de cobre e a segunda de alumínio. A terceira barra tem metade do comprimento das outras duas e é feita de alumínio. Sabendo-se que o coeficiente de dilatação linear do cobre é de
e o do alumínio é de
, responda: Considerando o resultado da alternativa anterior, qual a temperatura final que a terceira barra deve ser aquecida para que ela apresente a mesma variação de comprimento que a primeira barra sofreu?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três barras com a mesma temperatura inicial de $ T_i = 10^{\circ} \mathrm{C} $. A primeira barra é de cobre, a segunda de alumínio, e a terceira também de alumínio, mas com metade do comprimento das outras duas. Queremos descobrir qual a temperatura final que a terceira barra deve ser aquecida para que a variação no comprimento dela seja igual à variação que a primeira barra (de cobre) sofreu. Para resolver isso, vamos usar o coeficiente de dilatação linear, que nos ajuda a calcular como o comprimento de um material muda com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
Onde:
- $ \Delta L $ é a variação no comprimento,
- $ L_0 $ é o comprimento inicial,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos calcular a variação de comprimento da primeira barra (cobre). Supondo que a temperatura final da primeira barra seja $ T_f $, a variação de temperatura será:
Então, a variação no comprimento da primeira barra será:
Passo 4
Para a terceira barra (alumínio), que tem metade do comprimento inicial das outras, o comprimento inicial será $ L_0/2 $. A variação de temperatura que queremos encontrar será $ \Delta T_3 = T_f’ - T_i $, onde $ T_f’ $ é a temperatura final da terceira barra. A variação no comprimento será:
Passo 5
Queremos que a variação de comprimento da terceira barra seja igual à da primeira barra:
Substituindo as fórmulas:
Passo 6
Podemos simplificar $ L_0 $ dos dois lados da equação:
Passo 7
Vamos isolar $ \Delta T_3 $:
Passo 8
Substituindo os valores dos coeficientes de dilatação:
Passo 9
Isso significa que a variação de temperatura necessária para a terceira barra é aproximadamente 1,3077 vezes a variação de temperatura da primeira barra. Se, por exemplo, a primeira barra foi aquecida em $ \Delta T_1 = 10^{\circ} \mathrm{C} $, então:
Resposta
A terceira barra deve ser aquecida até aproximadamente $ T_f’ = 10^{\circ} \mathrm{C} + 13,08^{\circ} \mathrm{C} = 23,08^{\circ} \mathrm{C} $ para que apresente a mesma variação de comprimento que a primeira barra.