- (2.0) Uma esfera sólita de
e
de raio rola sem deslizar com uma velocidade linear de
. Calcule a energia cinética total da esfera, dado que seu momento de inércia é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera sólida de 3,5 kg com raio de 0,5 m que está rolando sem deslizar a uma velocidade de 2 m/s. O objetivo aqui é calcular a energia cinética total dessa esfera. Para isso, vamos usar conceitos de cinética translacional e cinética rotacional, além do momento de inércia que já foi dado como $ I = \frac{2}{5} M R^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um objeto que está rolando sem deslizar é a soma da energia cinética de movimento linear (translacional) e da energia cinética de rotação (rotacional).
A energia cinética translacional é dada por:
onde:
- $ M $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade linear.
Passo 3
A energia cinética rotacional é dada por:
onde:
- $ I $ é o momento de inércia,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Como a esfera está rolando sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a energia cinética translacional:
Passo 5
Agora, calculamos a energia cinética rotacional. Primeiro, vamos encontrar $ \omega $:
Agora, usando o momento de inércia dado:
Primeiro, calculamos $ I $:
Agora, a energia cinética rotacional:
Resposta
A energia cinética total da esfera é: