1. (2.0) Uma esfera sólita de 3,5 kg e 0,5 m de raio rola sem deslizar com uma velocidade linear de 2 m / s. Calcule a energia cinética total da esfera, dado que seu momento de inércia é I=2 M R^2 / 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera sólida de 3,5 kg com raio de 0,5 m que está rolando sem deslizar a uma velocidade de 2 m/s. O objetivo aqui é calcular a energia cinética total dessa esfera. Para isso, vamos usar conceitos de cinética translacional e cinética rotacional, além do momento de inércia que já foi dado como $ I = \frac{2}{5} M R^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um objeto que está rolando sem deslizar é a soma da energia cinética de movimento linear (translacional) e da energia cinética de rotação (rotacional).
A energia cinética translacional é dada por:
KEtrans = 12 M v^2
onde:
  • $ M $ é a massa,
  • $ v $ é a velocidade linear.

Passo 3

A energia cinética rotacional é dada por:
KErot = 12 I omega^2
onde:
  • $ I $ é o momento de inércia,
  • $ \omega $ é a velocidade angular.
Como a esfera está rolando sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $:
I

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a energia cinética translacional:
KEtrans = 12 times 3,5 , kg times (2 , m/s)^2 = 12 times 3,5 times 4 = 7 , J

Passo 5

Agora, calculamos a energia cinética rotacional. Primeiro, vamos encontrar $ \omega $:
omega
Agora, usando o momento de inércia dado:
omega = 2 , m/s0,5 , m = 4 , rad/s
Primeiro, calculamos $ I $:
KErot = 12 times 25 times 3,5 , kg times (0,5 , m)^2 times (4 , rad/s)^2
Agora, a energia cinética rotacional:
I

Resposta

A energia cinética total da esfera é:
KEtotal = KEtrans + KErot = 7 , J + 2,8 , J = 9,8 , J

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