Considere três bolinhas de massas m_{1}=1 \mathrm{~kg}, m_{2}=2 \mathrm{~kg} e m_{3}=3 \mathrm{~kg} cujas posições em função do tempo são dadas por \boldsymbol{r}_{1}(t)=\left(2 t^{2},-t^{3}-t^{2}\right), \boldsymbol{r}_{2}(t)=\left(2 t, t^{2}\right) e \boldsymbol{r}_{3}(t)=\left(2 t^{2}, 3 t^{2}\right).
a) Calcule a velocidade e a aceleração de cada bolinha.
b) Calcule a quantidade de movimento de cada bolinha
c) Calcule a soma das forças sobre cada bolinha.
d) Calcule \boldsymbol{R}, \boldsymbol{V} e \boldsymbol{A} (a posição, a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema de três bolinhas).
e) Calcule a quantídade de movimento do sistema e a soma das forças sobre o sistema.

Passo 1

O enunciado apresenta três partículas de massas m_{1}=1, m_{2}=2 e m_{3}=3 cujas posições no plano são dadas por funções vetoriais \boldsymbol{r}_{i}(t). Precisamos usar diferenciação de funções vetoriais para obter velocidades \boldsymbol{v}_{i}(t) e acelerações \boldsymbol{a}_{i}(t), em seguida aplicar \boldsymbol{p}_{i}=m_{i}\boldsymbol{v}_{i} e \boldsymbol{F}_{i}=m_{i}\boldsymbol{a}_{i}. Depois, calcular a posição, velocidade e aceleração do centro de massa pelo método de soma ponderada e, por fim, a quantidade de movimento e a força total do sistema.

Passo 2

Para cada partícula, diferenciamos componente a componente:
\boldsymbol{r}_{1}(t)=(2t^{2},\,-t^{3}-t^{2})
\boldsymbol{v}_{1}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}_{1}}{dt}=(4t,\,-3t^{2}-2t)
\boldsymbol{a}_{1}(t)=\frac{d\boldsymbol{v}_{1}}{dt}=(4,\,-6t-2)
\boldsymbol{r}_{2}(t)=(2t,\,t^{2})
\boldsymbol{v}_{2}(t)=(2,\,2t)
\boldsymbol{a}_{2}(t)=(0,\,2)
\boldsymbol{r}_{3}(t)=(2t^{2},\,3t^{2})
\boldsymbol{v}_{3}(t)=(4t,\,6t)
\boldsymbol{a}_{3}(t)=(4,\,6)

Passo 3

Calculamos a quantidade de movimento \boldsymbol{p}_{i}=m_{i}\boldsymbol{v}_{i}:
\boldsymbol{p}_{1}(t)=1\cdot(4t,\,-3t^{2}-2t)=(4t,\,-3t^{2}-2t)
\boldsymbol{p}_{2}(t)=2\cdot(2,\,2t)=(4,\,4t)
\boldsymbol{p}_{3}(t)=3\cdot(4t,\,6t)=(12t,\,18t)

Passo 4

Pela segunda lei de Newton, \boldsymbol{F}_{i}=m_{i}\boldsymbol{a}_{i}:
\boldsymbol{F}_{1}(t)=1\cdot(4,\,-6t-2)=(4,\,-6t-2)
\boldsymbol{F}_{2}(t)=2\cdot(0,\,2)=(0,\,4)
\boldsymbol{F}_{3}(t)=3\cdot(4,\,6)=(12,\,18)

Passo 5

O centro de massa tem massa total M=1+2+3=6 e posição
\boldsymbol{R}(t)=\frac{1}{6}\bigl(1\boldsymbol{r}_{1}+2\boldsymbol{r}_{2}+3\boldsymbol{r}_{3}\bigr) =\Bigl(\tfrac{8t^{2}+4t}{6},\,\tfrac{-t^{3}+10t^{2}}{6}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{4}{3}t^{2}+\tfrac{2}{3}t,\,-\tfrac{1}{6}t^{3}+\tfrac{5}{3}t^{2}\Bigr).
Diferenciando,
\boldsymbol{V}(t)=\frac{d\boldsymbol{R}}{dt} =\Bigl(\tfrac{8}{3}t+\tfrac{2}{3},\,-t+\tfrac{10}{3}t^{0}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{8}{3}t+\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{2}\cdot2t+\tfrac{10}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{8}{3}t+\tfrac{2}{3},\,-t+\tfrac{10}{3}\Bigr).
E
\boldsymbol{A}(t)=\frac{d\boldsymbol{V}}{dt} =\Bigl(\tfrac{8}{3},\,-1\Bigr)\,+\Bigl(0,\,\tfrac{10}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{8}{3},\,-t+\tfrac{10}{3}\Bigr)
ou diretamente por média ponderada dos \boldsymbol{a}_{i}:
\boldsymbol{A}(t) =\frac{1}{6}\bigl(1\cdot(4,\,-6t-2)+2\cdot(0,4)+3\cdot(12,18)\bigr) =\Bigl(\tfrac{16}{6},\,-t+\tfrac{10}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{8}{3},\,-t+\tfrac{10}{3}\Bigr).

Passo 6

A quantidade de movimento total é
\boldsymbol{P}(t)=\sum_{i}\boldsymbol{p}_{i} =(4t+4+12t,\,-3t^{2}-2t+4t+18t) =(16t+4,\,-3t^{2}+20t),
que coincide com M\,\boldsymbol{V}(t)=6\bigl(\tfrac{8}{3}t+\tfrac{2}{3},\,-t+\tfrac{10}{3}\bigr).
A soma das forças é
\sum_{i}\boldsymbol{F}_{i} =(4+0+12,\,-6t-2+4+18) =(16,\,-6t+20),
igual a M\,\boldsymbol{A}(t)=6\bigl(\tfrac{8}{3},\,-t+\tfrac{10}{3}\bigr).

Resposta

a)
\boldsymbol{v}_{1}=(4t,\,-3t^{2}-2t), \boldsymbol{a}_{1}=(4,\,-6t-2)
\boldsymbol{v}_{2}=(2,\,2t), \boldsymbol{a}_{2}=(0,\,2)
\boldsymbol{v}_{3}=(4t,\,6t), \boldsymbol{a}_{3}=(4,\,6)
b)
\boldsymbol{p}_{1}=(4t,\,-3t^{2}-2t)
\boldsymbol{p}_{2}=(4,\,4t)
\boldsymbol{p}_{3}=(12t,\,18t)
c)
\boldsymbol{F}_{1}=(4,\,-6t-2)
\boldsymbol{F}_{2}=(0,\,4)
\boldsymbol{F}_{3}=(12,\,18)
d)
\boldsymbol{R}=(\tfrac{4}{3}t^{2}+\tfrac{2}{3}t,\,-\tfrac{1}{6}t^{3}+\tfrac{5}{3}t^{2})
\boldsymbol{V}=(\tfrac{8}{3}t+\tfrac{2}{3},\,-t+\tfrac{10}{3})
\boldsymbol{A}=(\tfrac{8}{3},\,-t+\tfrac{10}{3})
e)
\boldsymbol{P}=(16t+4,\,-3t^{2}+20t)
\sum\boldsymbol{F}=(16,\,-6t+20)

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