Questão 1 (2 pts): Um grão de poeira, de massa m=1,20 \times 10^{-13} \mathrm{~kg} e carga igual a -5,60 \mathrm{nC}, está se movendo em um campo magnético uniforme \vec{B}=-(1,25 \mathrm{~T}) \hat{k}. A força magnética que atua sobre a partícula é medida como \vec{F}=-\left(3,40 \times 10^{-7} \mathrm{~N}\right) \hat{i}+(7,40 \times \left.10^{-7} \mathrm{~N}\right) j. Sabendo que a componente z da velocidade da partícula é zero, determine:
(a) A velocidade da partícula em notação de vetores unitários, em unidades de \mathrm{m} / \mathrm{s};
(b) O raio do movimento circular uniforme, em metros.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma partícula de massa m=1{,}20\times10^{-13}\,\mathrm{kg} e carga q=-5{,}60\times10^{-9}\,\mathrm{C}, sujeita a um campo magnético uniforme
\vec B = -\bigl(1{,}25\,\mathrm T\bigr)\,\hat k
e sobre a qual age a força
\vec F = -\bigl(3{,}40\times10^{-7}\,\mathrm N\bigr)\,\hat i \;+\;\bigl(7{,}40\times10^{-7}\,\mathrm N\bigr)\,\hat j.
Como a componente \,v_z da velocidade é zero, vamos:
  1. usar \vec F = q\,\vec v\times\vec B para encontrar \vec v,
  2. calcular o raio r do movimento circular, sabendo que
r = \frac{m\,v_\perp}{\lvert q\rvert\,B}.

Passo 2

Escrevemos
\vec v = v_x\,\hat i + v_y\,\hat j + 0\,\hat k, \quad \vec B = 0\,\hat i + 0\,\hat j -1{,}25\,\hat k.
O produto vetorial é
\vec v\times\vec B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k\\\ v_x & v_y & 0\\\\ 0 & 0 & -1{,}25 \end{vmatrix} = (-1{,}25\,v_y)\,\hat i \;+\;(1{,}25\,v_x)\,\hat j \;+\;0\,\hat k.
Logo
\vec F = q\bigl(\vec v\times\vec B\bigr) = q\bigl[-1{,}25\,v_y\,\hat i + 1{,}25\,v_x\,\hat j\bigr].

Passo 3

Comparando componentes vetoriais temos
F_x = -1{,}25\,q\,v_y = -3{,}40\times10^{-7}, \quad F_y = \;\,1{,}25\,q\,v_x = \;\,7{,}40\times10^{-7}.
Como q=-5{,}60\times10^{-9}, isolamos
v_y = \frac{-3{,}40\times10^{-7}}{-1{,}25\,q} = \frac{3{,}40\times10^{-7}}{1{,}25\,(5{,}60\times10^{-9})} \approx -48{,}6\;\mathrm{m/s},
v_x = \frac{7{,}40\times10^{-7}}{1{,}25\,q} = \frac{7{,}40\times10^{-7}}{1{,}25\,(-5{,}60\times10^{-9})} \approx -105{,}7\;\mathrm{m/s}.
Portanto
\vec v \approx -1{,}057\times10^{2}\,\hat i\;-\,4{,}857\times10^{1}\,\hat j \quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

O módulo da velocidade é
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx \sqrt{(-105{,}7)^2 + (-48{,}6)^2} \approx 1{,}163\times10^{2}\;\mathrm{m/s}.
O raio do movimento circular uniforme é
r = \frac{m\,v}{\lvert q\rvert\,B} = \frac{1{,}20\times10^{-13}\times1{,}163\times10^{2}} {5{,}60\times10^{-9}\times1{,}25} \approx 2,0\times10^{-3}\;\mathrm{m}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v \approx -1{,}06\times10^{2}\,\hat i\;-\;4{,}86\times10^{1}\,\hat j\;\mathrm{m/s}.
(b) \displaystyle r \approx 2,0\times10^{-3}\;\mathrm{m}.

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