Questão 5 (2 pts): A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio a=3,1 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central, e seu módulo varia linearmente com a distância radial r, de acordo com a equação J=J_{0} r^{2} / a^{2}, em que J_{0}=310 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético em:
(b) 2 a.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de raio a=3,1,mm com densidade de corrente paralela ao eixo e variando como
J(r)=J_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{2}},
sendo J_{0}=310,A/m ^2. Pede-se o módulo do campo magnético em r=2a. O conteúdo chave é a Lei de Ampère para distribuição de corrente com simetria cilíndrica.

Passo 2

Para r\ge a, toda a corrente no fio está dentro do caminho amperiano. Calculamos a corrente total
I = \iint_{\text{seção}} J(r)\,\mathrm{d}A = 2\pi\int_{0}^{a}J_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{2}}\;r\,\mathrm{d}r = \frac{2\pi J_{0}}{a^{2}}\int_{0}^{a}r^{3}\,\mathrm{d}r = \frac{2\pi J_{0}}{a^{2}}\;\frac{a^{4}}{4} = \frac{\pi J_{0}\,a^{2}}{2}.çã

Passo 3

Pela Lei de Ampère, para um raio r fora do fio:
B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi r}.

Passo 4

Substituindo I=\tfrac{\pi J_{0}a^{2}}{2} e r=2a:
B(2a) =\frac{\mu_{0}\,\bigl(\pi J_{0}a^{2}/2\bigr)}{2\pi\,(2a)} =\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,a}{8}.

Passo 5

Agora os valores numéricos: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7},H/m, J_{0}=310,A/m ^2, a=3,1\times10^{-3},m.
B(2a) =\frac{4\pi\times10^{-7}\times310\times3,1\times10^{-3}}{8} \approx1,5\times10^{-7}\text{ T}.

Resposta

O módulo do campo magnético em r=2a é
1,5\times10^{-7}\text{ T}.

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