Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A)=28, n(B)=21, n(C)=20, n(A cap B) =8, n(B cap C)=9, n(A cap C)=4 e n(A cap B cap C)=3. Qual o valor de n((A cup B) cap C) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre conjuntos e suas interseções. Precisamos encontrar o valor de $ n((A \cup B) \cap C) $, ou seja, quantos elementos estão tanto em $ C $ quanto em $ A $ ou $ B $. Para isso, vamos usar as regras de união e interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A \cup B $. A união de $ A $ e $ B $ ($ A \cup B $) inclui todos os elementos que estão em $ A $, em $ B $ ou em ambos. A interseção com $ C $ ($ (A \cup B) \cap C $) vai pegar só os elementos que estão em $ C $ e também em $ A $ ou $ B $.

Passo 3

Para calcular $ n((A \cup B) \cap C) $, podemos reescrever isso usando a propriedade distributiva das interseções sobre uniões:
n((A cup B) cap C)
Isso significa que estamos somando os elementos que estão em $ A $ e $ C $ com os que estão em $ B $ e $ C $, mas precisamos tomar cuidado para não contar duas vezes os que estão em todos os três conjuntos.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de união de dois conjuntos:
n((A cap C) cup (B cap C)) = n(A cap C) + n(B cap C) - n(A cap B cap C)
Isso evita a contagem dupla dos elementos que estão nos três conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 5

Vamos substituir os valores que a gente tem:
n(A cap C) = 4
n(B cap C) = 9
n(A cap B cap C) = 3
Então:
n((A cup B) cap C) = 4 + 9 - 3 = 10

Resposta

O valor de $ n((A \cup B) \cap C) $ é 10.

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