Sejam A, B e C eventos em um espaço amostral. Das afirmações:
I. A negação de x in A cap B é: x notin A ou x notin B
II. A cap(B cup C)=(A cap B) cup(A cap C)
III. (A-B) cup(B-A)=(A cup B)-(A cap B)
Qual(is) são falsa(s)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos $ A, B $ e $ C $ dentro de um espaço amostral. A gente tem três afirmações para avaliar se são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como interseção, união, negação e diferenças de conjuntos.

Passo 2

Afirmação I: A negação de $ x \in A \cap B $ é: $ x \notin A $ ou $ x \notin B $.
Primeiro, vamos entender o que significa $ x \in A \cap B $. Isso quer dizer que o elemento $ x $ está em ambos os conjuntos $ A $ e $ B $ ao mesmo tempo.
Agora, para negar isso, queremos dizer que não é verdade que $ x $ está em ambos. Segundo as Leis de De Morgan, a negação da interseção é igual à união das negações. Ou seja:
x in A cap B
Então, a afirmação I está correta.

Passo 3

Afirmação II: $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $.
Essa é uma propriedade conhecida como distributividade da interseção sobre a união. Vamos entender:
  • $ A \cap (B \cup C) $ significa que estamos pegando todos os elementos que estão em $ A $ e em pelo menos um entre $ B $ ou $ C $.
  • $ (A \cap B) \cup (A \cap C) $ significa que estamos unindo todos os elementos que estão em $ A $ e em $ B $ com todos os que estão em $ A $ e em $ C $.
Essas duas expressões resultam no mesmo conjunto, então a afirmação II está correta.

Passo 4

Afirmação III: $ (A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B) $.
Vamos desvendar as diferenças:
  • $ A - B $ são os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $.
  • $ B - A $ são os elementos que estão em $ B $ mas não em $ A $.
  • Juntando esses dois com a união $ \cup $, temos todos os elementos que estão em apenas um dos conjuntos $ A $ ou $ B $.
Do outro lado:
  • $ A \cup B $ é a união de todos os elementos em $ A $ ou $ B $.
  • $ A \cap B $ são os elementos que estão em ambos.
  • Subtraindo $ A \cap B $ da união, removemos os elementos que estão nos dois conjuntos, restando apenas aqueles que estão em um dos conjuntos.
Então, ambas as expressões representam a diferença simétrica entre $ A $ e $ B $. Portanto, a afirmação III está correta.

Resposta

Nenhuma das afirmações é falsa; todas as três afirmações são verdadeiras.

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