Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em quais materias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores:
47 alunos inscritos em matematica.
31 alunos inscritos em fisica.
11 alunos inscritos em estatıstica.
20 alunos inscritos em matematica e fisica.
7 alunos inscritos em matematica e estatıstica.
6 alunos inscritos em fisica e estatıstica.
5 alunos inscritos em matematica, fisica e estatıstica.
Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 materia?
47 alunos inscritos em matematica.
31 alunos inscritos em fisica.
11 alunos inscritos em estatıstica.
20 alunos inscritos em matematica e fisica.
7 alunos inscritos em matematica e estatıstica.
6 alunos inscritos em fisica e estatıstica.
5 alunos inscritos em matematica, fisica e estatıstica.
Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 materia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de um aluno estar inscrito em pelo menos uma das matérias: Matemática, Física ou Estatística. A gente tem que usar um pouco de matemática básica e teoria das probabilidades para resolver isso. Vamos precisar entender como contar os alunos inscritos em cada combinação dessas matérias para não contar ninguém duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar todos os números que a questão nos deu:
- Total de alunos: 100
- Inscritos em Matemática (M): 47
- Inscritos em Física (F): 31
- Inscritos em Estatística (E): 11
- Inscritos em Matemática e Física (M ∩ F): 20
- Inscritos em Matemática e Estatística (M ∩ E): 7
- Inscritos em Física e Estatística (F ∩ E): 6
- Inscritos nas três (M ∩ F ∩ E): 5
Passo 3
Agora, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para calcular quantos alunos estão inscritos em pelo menos uma das matérias. Esse princípio nos ajuda a evitar contar alguém mais de uma vez quando há sobreposição entre os grupos.
A fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos é:
Onde:
-
é o número de alunos inscritos em pelo menos uma matéria. -
, , são os alunos inscritos apenas em cada matéria. - As interseções representam as inscrições em duas ou mais matérias ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
- Soma das inscrições individuais:
- Subtraindo as interseções de duas matérias:
- Adicionando a interseção das três matérias:
Passo 5
Então, 61 alunos estão inscritos em pelo menos uma das matérias. Para encontrar a probabilidade, dividimos esse número pelo total de alunos:
Resposta
A probabilidade de um aluno estar inscrito em pelo menos uma das matérias é de 61%.