Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em quais materias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores:
47 alunos inscritos em matematica.
31 alunos inscritos em fisica.
11 alunos inscritos em estatıstica.
20 alunos inscritos em matematica e fisica.
7 alunos inscritos em matematica e estatıstica.
6 alunos inscritos em fisica e estatıstica.
5 alunos inscritos em matematica, fisica e estatıstica.
Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 materia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de um aluno estar inscrito em pelo menos uma das matérias: Matemática, Física ou Estatística. A gente tem que usar um pouco de matemática básica e teoria das probabilidades para resolver isso. Vamos precisar entender como contar os alunos inscritos em cada combinação dessas matérias para não contar ninguém duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar todos os números que a questão nos deu:
  • Total de alunos: 100
  • Inscritos em Matemática (M): 47
  • Inscritos em Física (F): 31
  • Inscritos em Estatística (E): 11
  • Inscritos em Matemática e Física (M ∩ F): 20
  • Inscritos em Matemática e Estatística (M ∩ E): 7
  • Inscritos em Física e Estatística (F ∩ E): 6
  • Inscritos nas três (M ∩ F ∩ E): 5

Passo 3

Agora, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para calcular quantos alunos estão inscritos em pelo menos uma das matérias. Esse princípio nos ajuda a evitar contar alguém mais de uma vez quando há sobreposição entre os grupos.
A fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos é:
N(M cup F cup E) = N(M) + N(F) + N(E) - N(M cap F) - N(M cap E) - N(F cap E) + N(M cap F cap E)
Onde:
  • N(M cup F cup E) é o número de alunos inscritos em pelo menos uma matéria.
  • N(M), N(F), N(E) são os alunos inscritos apenas em cada matéria.
  • As interseções representam as inscrições em duas ou mais matérias ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
N(M cup F cup E) = 47 + 31 + 11 - 20 - 7 - 6 + 5
Fazendo as contas passo a passo:
  1. Soma das inscrições individuais: 47 + 31 + 11 = 89
  2. Subtraindo as interseções de duas matérias: 89 - 20 - 7 - 6 = 56
  3. Adicionando a interseção das três matérias: 56 + 5 = 61

Passo 5

Então, 61 alunos estão inscritos em pelo menos uma das matérias. Para encontrar a probabilidade, dividimos esse número pelo total de alunos:
P(pelo menos uma matéria) = 61100 = 0,61 ou 61% é

Resposta

A probabilidade de um aluno estar inscrito em pelo menos uma das matérias é de 61%.

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