Por meio da matriz hessiana. avalie a concavidade das funções:
f(x)=x_{1}-x_{2}^{2}+2 x_{2}+16

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a concavidade da função
f(x)=x_{1}-x_{2}^{2}+2x_{2}+16
usando a matriz Hessiana. Vamos precisar calcular todas as segundas derivadas parciais de f e montar a Hessiana, depois testar sua definitude.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}=0, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} =\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=0, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}=-2.
A matriz Hessiana fica então
\nabla^{2}f(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para verificar a definitude, considere um vetor genérico z=(z_{1},z_{2}). Então
z^{T}\,\nabla^{2}f\,z = \begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z_{1}\z_{2}\end{pmatrix} =-2\,z_{2}^{2}\le 0\quad\forall\,z.
Isso mostra que a Hessiana é semidefinida negativa.

Resposta

A função f é côncava (semidefinida negativa), mas não estritamente côncava.

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