Considere três urnas idênticas U1, U2 e U3. A urna U1 contém duas bolas, uma amarela e outra vermelha. Já a urna U2 contém três bolas azuis, enquanto a urna U3 contém duas bolas vermelhas e uma amarela. Escolhe-se ao acaso uma das urnas e retira-se uma bola. Verifica-se que a bola escolhida é amarela. Qual a probabilidade de que a urna U1 tenha sido escolhida?
Passo 1
O enunciado diz que há três urnas idênticas
,
e
, escolhidas com igual probabilidade, e que uma bola é retirada; sabemos que saiu uma bola amarela. Queremos a probabilidade condicional de que a urna escolhida tenha sido
. O conteúdo necessário é probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
Passo 2
Definimos o evento
“saiu bola amarela” e os eventos
,
,
de escolher cada urna. Como a escolha da urna é ao acaso e as urnas são idênticas,
As probabilidades condicionais de
dadas as urnas são:
Passo 3
Calculamos a probabilidade total de sair bola amarela pelo Teorema da Probabilidade Total:
Passo 4
Aplicamos o Teorema de Bayes para obter