Sabe-se que P(A)=0,3, P(A cup B^c)=0,5 e P(A^c cup B)=0,7. Calcule:
(a) P(A cap B^c)
(b) P(A mid B^c)
(c) P(B mid A^c)
(d) P(A^c cap B^c)
R=0,3 ; 0,6 ; 0,714 ; 0,2

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades de dois eventos A e B:
P(A)=0,3,
P(Acup B^c)=0,5 e
P(A^ccup B)=0,7.
Pede-se (a) P(Acap B^c), (b) P(Amid B^c), (c) P(Bmid A^c) e (d) P(A^ccap B^c).
Vamos usar álgebra de conjuntos (De Morgan) e definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Usamos De Morgan e complementar para achar as interseções com complementos:
P(A^ccap B)=1-P(Acup B^c)=1-0,5=0,5,
P(Acap B^c)=1-P(A^ccup B)=1-0,7=0,3

Passo 3

A partir de P(Acap B^c) e P(A) obtemos
P(Acap B)=P(A)-P(Acap B^c)=0,3-0,3=0
Então
P(B)=P(Acap B)+P(A^ccap B)=0+0,5=0,5,
P(B^c)=1-P(B)=0,5, P(A^c)=1-P(A)=0,7

Passo 4

Aplicamos a definição de probabilidade condicional:
P(Amid B^c) =P(Acap B^c)P(B^c) =0,30,5=0,6,
P(Bmid A^c) =P(A^ccap B)P(A^c) =0,50,7approx0,714

Passo 5

Por fim, para P(A^ccap B^c) usamos complemento da união:
P(A^ccap B^c) =1-P(Acup B) =1-l(P(A)+P(B)-P(Acap B)r) =1-(0,3+0,5-0)=0,2

Resposta

(a) 0,3
(b) 0,6
(c) 0,714 (aproximado)
(d) 0,2

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