Considere três vetores a, b e c. Mostre que
a cdot(b times c)=c cdot(a times b)
Qual é a interpretação geométrica do produto triplo?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre vetores e produtos vetoriais e escalares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear ou Geometria Vetorial. Precisamos mostrar que a cdot(b times c) é igual a c cdot(a times b) e também entender o que esse produto triplo representa geometricamente. Para isso, vamos usar as propriedades dos produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante do produto vetorial (ou cruzado). O produto vetorial é anticomutativo, ou seja:
b times c = - (c times b)
Isso significa que se trocarmos a ordem dos vetores no produto vetorial, o resultado muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade na expressão que queremos mostrar. Temos:
a cdot (b times c) = a cdot (-c times b) = -a cdot (c times b)
Aqui, usamos a anticomutatividade para trocar b times c por -c times b.

Passo 4

Em seguida, vamos lembrar de outra propriedade importante: o produto escalar é comutativo, ou seja:
a cdot d = d cdot a
Aplicando isso na nossa expressão:
-a cdot (c times b) = -(c times b) cdot a = -c cdot (b times a)
Mas novamente, usamos a anticomutatividade no produto vetorial c times b = -b times c:
-c cdot (b times a) = c cdot (a times b)

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
a cdot (b times c) = c cdot (a times b)
Então, mostramos que as duas expressões são iguais usando as propriedades dos produtos vetorial e escalar.

Resposta

Concluímos que a cdot(b times c) é igual a c cdot(a times b). Geometricamente, o produto triplo representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores a, b e c.

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