Considere três vetores
e
. Mostre que
Qual é a interpretação geométrica do produto triplo?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre vetores e produtos vetoriais e escalares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear ou Geometria Vetorial. Precisamos mostrar que
é igual a
e também entender o que esse produto triplo representa geometricamente. Para isso, vamos usar as propriedades dos produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante do produto vetorial (ou cruzado). O produto vetorial é anticomutativo, ou seja:
Isso significa que se trocarmos a ordem dos vetores no produto vetorial, o resultado muda de sinal.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa propriedade na expressão que queremos mostrar. Temos:
Aqui, usamos a anticomutatividade para trocar
por
.
Passo 4
Em seguida, vamos lembrar de outra propriedade importante: o produto escalar é comutativo, ou seja:
Aplicando isso na nossa expressão:
Mas novamente, usamos a anticomutatividade no produto vetorial
:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos:
Então, mostramos que as duas expressões são iguais usando as propriedades dos produtos vetorial e escalar.
Resposta
Concluímos que
é igual a
. Geometricamente, o produto triplo representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores
,
e
.