Considere o vetor a=(1,1,1). Encontre todos os vetores perpendiculares a ele. Qual é este lugar geométrico?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor a = (1,1,1) e precisa encontrar todos os vetores que são perpendiculares a ele. Além disso, queremos saber qual é o lugar geométrico desses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar (ou produto interno) entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar todos os vetores v = (x, y, z) que são perpendiculares ao vetor a = (1,1,1). Então, aplicamos a condição do produto escalar:
a cdot v = 1 cdot x + 1 cdot y + 1 cdot z = 0
Isso resulta na equação:
x + y + z = 0

Passo 4

Essa equação x + y + z = 0 representa todos os vetores v = (x, y, z) que são perpendiculares a a. Geometricamente, todos esses vetores formam um conjunto que pode ser visualizado como um plano no espaço tridimensional.

Passo 5

Portanto, o lugar geométrico de todos os vetores perpendiculares ao vetor a = (1,1,1) é o plano definido pela equação x + y + z = 0.

Resposta

Todos os vetores (x, y, z) que satisfazem x + y + z = 0 são perpendiculares a a = (1,1,1). O lugar geométrico desses vetores é o plano no espaço tridimensional definido pela equação x + y + z = 0.

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