Demonstre que
e
são vetores unitários no plano
e formam um ângulos
com o eixo
. Por meio de um produto escalar, obtenha a fórmula
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no plano
. A gente vai ver que os vetores
e
são vetores unitários e formam ângulos
e
com o eixo
. Depois, usando o produto escalar, vamos chegar na fórmula de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são vetores unitários. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. A fórmula para a magnitude de um vetor
é
.
Passo 3
Vamos calcular a magnitude de
:
Sabemos pela identidade trigonométrica que
, então:
Portanto,
é um vetor unitário.
Passo 4
De maneira similar, vamos calcular a magnitude de
:
Assim,
também é um vetor unitário.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
faz um ângulo
com o eixo
. O ângulo que um vetor faz com o eixo
pode ser encontrado usando as coordenadas do vetor. Aqui,
tem componentes
e
, que são exatamente as definições de cosseno e seno do ângulo
.
Passo 6
Da mesma forma,
tem componentes
e
, indicando que ela faz um ângulo
com o eixo
.
Passo 7
Agora, vamos usar o produto escalar para encontrar
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre os vetores. Como
, temos:
Passo 8
Vamos calcular
usando as componentes dos vetores:
Portanto:
Passo 9
Sabemos que a identidade trigonométrica para
é:
Comparando com o que obtivemos, vemos que
. Ou seja:
Resposta
A fórmula obtida é: