Demonstre que A=cos alpha i+sin alpha j e B=cos beta i+sin beta j são vetores unitários no plano x-y e formam um ângulos alpha, beta com o eixo x. Por meio de um produto escalar, obtenha a fórmula cos (alpha-beta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores no plano x-y. A gente vai ver que os vetores A = cos alpha,i + sin alpha,j e B = cos beta,i + sin beta,j são vetores unitários e formam ângulos alpha e beta com o eixo x. Depois, usando o produto escalar, vamos chegar na fórmula de cos(alpha - beta).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se A e B são vetores unitários. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. A fórmula para a magnitude de um vetor V = a,i + b,j é |V| = raiza^2 + b^2.

Passo 3

Vamos calcular a magnitude de A:
|A| = raiz(cos alpha)^2 + (sin alpha)^2 = raizcos^2 alpha + sin^2 alpha
Sabemos pela identidade trigonométrica que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
|A| = raiz1 = 1
Portanto, A é um vetor unitário.

Passo 4

De maneira similar, vamos calcular a magnitude de B:
|B| = raiz(cos beta)^2 + (sin beta)^2 = raizcos^2 beta + sin^2 beta = raiz1 = 1
Assim, B também é um vetor unitário.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que A faz um ângulo alpha com o eixo x. O ângulo que um vetor faz com o eixo x pode ser encontrado usando as coordenadas do vetor. Aqui, A tem componentes cos alpha e sin alpha, que são exatamente as definições de cosseno e seno do ângulo alpha.

Passo 6

Da mesma forma, B tem componentes cos beta e sin beta, indicando que ela faz um ângulo beta com o eixo x.

Passo 7

Agora, vamos usar o produto escalar para encontrar cos(alpha - beta). O produto escalar entre dois vetores A e B é dado por:
A cdot B = |A|,|B|,cos(theta)
onde theta é o ângulo entre os vetores. Como |A| = |B| = 1, temos:
A cdot B = cos(theta)

Passo 8

Vamos calcular A cdot B usando as componentes dos vetores:
A cdot B = (cos alpha)(cos beta) + (sin alpha)(sin beta)
Portanto:
cos(theta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta

Passo 9

Sabemos que a identidade trigonométrica para cos(alpha - beta) é:
cos(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Comparando com o que obtivemos, vemos que theta = alpha - beta. Ou seja:
cos(alpha - beta) = A cdot B

Resposta

A fórmula obtida é:
cos(alpha - beta) = A cdot B = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta

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