Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
d1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k
d2 & =-2,0 i-4,0 j+2,0 k d3 & =2,0 i+3,0 j+1,0 k
O que resulta de (a) d1 cdot(d2+d3), (b) d1 cdot(d2 times d3) e © d1 times(d2 times(d2+d3)) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente brincar com produtos escalar e vetorial de três vetores
hat i & hat j & hat kax&ay&azbx&by&bz dados em componentes.
Conteúdo: produto escalar e produto vetorial .
Ferramentas que vamos usar:
  • Para o escalar: .
  • Para o vetorial: .
Depois disso é só botar a mão na massa.

Passo 2

Primeiro, soma vec d2+vec d3 =( -2+2,;-4+3,;2+1 ) =(0,,-1,,3) .
Componentes:
, , então

Passo 3

Agora (a) vec d1cdot(0,,-1,,3) =(-3)cdot0 + 3cdot(-1) + 2cdot3 =0 - 3 + 6 =3 .
, então

Passo 4

Para (b) precisamos de vec d2timesvec d3 =det hat i & hat j & hat k -2 & -4 & 2 2 & 3 & 1 .
Usamos a matriz:
hat i(-4 - 6);-;hat j(-2 - 4);+;hat k(-6 + 8) = -10,hat i ;+;6,hat j ;+;2,hat k,
Calculando:
.
Isso dá
ou seja .

Passo 5

Agora (-3,3,2)cdot(-10,6,2) =(-3)(-10)+3cdot6+2cdot2 =30+18+4 =52 :

Passo 6

Para © a gente quer vec v =det hat i & hat j & hat k -2 & -4 & 2 0 & -1 & 3 = hat i[(-4)cdot3 - 2cdot(-1)] -hat j[(-2)cdot3 - 2cdot0] +hat k[(-2)cdot(-1) - (-4)cdot0] .
Já temos hat i(-12 +2);-;hat j(-6);+;hat k(2) = -10,hat i +6,hat j +2,hat k, .
Então primeiro faz
.
Usando o mesmo procedimento de matriz:
Isso dá
ou seja .

Passo 7

Agora faz vec d1timesvec v =det hat i & hat j & hat k -3 & 3 & 2 -10 & 6 & 2 , com hat i(6 - 12);-;hat j(-6 +20);+;hat k(-18 +30) = -6,hat i;-;14,hat j;+;12,hat k e :
Calculando:
.
Isso é

Resposta

(a)
(b)
©

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