Considere o triângulo ABC de vértices A(-3,-1,4), B(-4,1,0) e C(3,-2,1). Determine o ângulo interno ao vértice C desse triângulo.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo ABC em R^3:
A(-3,-1,4), B(-4,1,0), C(3,-2,1)
e pede o ângulo interno no vértice C. Para isso usamos o conteúdo de produto escalar e norma de vetores em R^3: o ângulo gamma entre os vetores CA e CB satisfaz
cos(gamma)=CAcdotCB|CA||CB|

Passo 2

Calculamos os vetores CA e CB subtraindo coordenadas de C:
CA = A - C = (-3-3,,-1+2,,4-1) = (-6,,1,,3),
CB = B - C = (-4-3,,1+2,,0-1) = (-7,,3,,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
CAcdotCB =(-6)(-7) + 1cdot 3 + 3cdot(-1) =42 + 3 - 3 =42

Passo 4

Calculamos as normas:
|CA| = raiz(-6)^2 + 1^2 + 3^2 = raiz36 + 1 + 9 = raiz46,
|CB| = raiz(-7)^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz49 + 9 + 1 = raiz59

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo:
cos(gamma) = CAcdotCB|CA||CB| = 42raiz46,raiz59 = 42raiz2714
Logo
gamma = arccos!gl(42raiz2714gr)

Passo 6

Para ter uma ideia em graus, calculamos numericamente:
42raiz2714approx 0,8060 Longrightarrow gammaapprox arccos(0,8060)approx 36,3^circ

Resposta

O ângulo interno em C é
gamma = arccos!l(tfrac42raiz2714r)approx 36,3^circ

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