Mostrar que cos ^2 alpha+cos ^2 beta+cos ^2 de<a=1, sendo alpha, beta e de<a os ângulos diretores de um vetor.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um vetor no espaço cujos ângulos diretores com os eixos x, y e z são alpha, beta e de<a, vale
cos^2alpha+cos^2beta+cos^2de<a=1
O conteúdo aqui é o de cossenos diretores e norma de um vetor em R^3.

Passo 2

Seja v=(vx,vy,vz) um vetor qualquer em R^3. Por definição, o cosseno do ângulo entre v e o eixo x (isto é, alpha) é
cosalpha = projeção de v em x|v| = vx|v| çã
De modo análogo,
cosbeta = vy|v|, cosde<a = vz|v|

Passo 3

Lembrando que a norma de v é dada por
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2,
temos portanto
|v|^2 = vx^2 + vy^2 + vz^2

Passo 4

Agora basta somar os quadrados dos cossenos:
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2de<a = vx^2|v|^2 + vy^2|v|^2 + vz^2|v|^2 = vx^2 + vy^2 + vz^2|v|^2
Pelo passo anterior, o numerador e o denominador coincidem, logo
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2de<a = 1

Resposta

cos^2alpha + cos^2beta + cos^2de<a = 1

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