Mostrar que
, sendo
e
os ângulos diretores de um vetor.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um vetor no espaço cujos ângulos diretores com os eixos
,
e
são
,
e
, vale
O conteúdo aqui é o de cossenos diretores e norma de um vetor em
.
Passo 2
Seja
um vetor qualquer em
. Por definição, o cosseno do ângulo entre
e o eixo
(isto é,
) é
De modo análogo,
Passo 3
Lembrando que a norma de
é dada por
temos portanto
Passo 4
Agora basta somar os quadrados dos cossenos:
Pelo passo anterior, o numerador e o denominador coincidem, logo