Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache também a área do triângulo encontrando sua altura.
[Dica: Para usar o produto vetorial considere as coordenadas z dos vértices iguais a 0.]

Passo 1

O enunciado dá um triângulo cujos vértices são
(3,1), (5,-2) e (6,3).
O conteúdo envolvido é o produto vetorial em R^3 (com coordenada z=0) para achar a área do paralelogramo formado por dois vetores lados, e daí obter a área do triângulo. Em seguida, vamos escolher um desses lados como base e calcular a altura correspondente.

Passo 2

Escolhemos o vértice A=(3,1) e definimos
AB = B - A = (5,-2,0) - (3,1,0) = (2,-3,0),
AC = C - A = (6,3,0) - (3,1,0) = (3,2,0)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial em R^3:
ABtimesAC = i & j & k 2 & -3 & 0 3 & 2 & 0 = (2cdot2 - (-3)cdot3),k = 13,k
A magnitude desse vetor é
l|ABtimesACr| = 13

Passo 4

A área do triângulo é metade da área do paralelogramo gerado pelos vetores:
Área = 12 l|ABtimesACr| = 12 times 13 = 132 Á

Passo 5

Agora escolhemos AB como base. Seu comprimento é
|AB| = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13

Passo 6

A altura h relativa a essa base satisfaz
12timesl(baser)times h = Área Longrightarrow h = 2cdot Áreabase = 2cdot132raiz13 = 13raiz13 = raiz13 ÁÁ

Resposta

Área do triângulo: 132.
Altura relativa ao lado de comprimento raiz13: raiz13.

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