Encontre uma possível família de curvas ortogonais às curvas, em coordenadas polares, dadas por r^2 cos 2 alpha=beta, onde beta é um número real qualquer e r>0.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas em coordenadas polares
r^2cos2alpha=beta,
com beta constante, e pede outra família de curvas que a cada ponto seja ortogonal a essa. Vamos usar o método de trajetórias ortogonais em coordenadas polares, que envolve (1) obter tfracdrdalpha da família dada, (2) calcular sua inclinação em Cartesianas dy/dx, (3) trocar por sua negativa recíproca e (4) resolver a nova EDO.

Passo 2

Diferenciando
r^2cos2alpha=beta
em relação a alpha obtemos
2r,drdalphacos2alpha - r^2,2sin2alpha = 0
ou seja
drdalpha = rtan2alpha

Passo 3

A inclinação da curva em Cartesianas é
dydx = drdalphasinalpha + rcosalpha drdalphacosalpha - rsinalpha
Substituindo tfracdrdalpha=rtan2alpha e simplificando dá
dydx = cotalpha

Passo 4

Para a trajetória ortogonal, a inclinação é
dydx|perp = -1cotalpha = -tanalpha
Igualando isso à expressão genérica de dy/dx em coordenadas polares leva a
drdalpha = -,rcot2alpha

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
drr = -cot2alpha,dalpha Longrightarrow integraldrr = -integralcot2alpha,dalpha ;Longrightarrow; ln r = -tfrac12lnl|sin2alphar| + C
Logo
lnl(rraizsin2alphar)=C Longrightarrow r^2,sin2alpha = K,
com K=e^2C constante.

Resposta

Uma possível família de curvas ortogonais é
boxedr^2sin2alpha = K,
onde K é uma constante real.

Exercícios relacionados