Encontre uma possível família de curvas ortogonais às curvas, em coordenadas polares, dadas por , onde é um número real qualquer e .
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas em coordenadas polares
com constante, e pede outra família de curvas que a cada ponto seja ortogonal a essa. Vamos usar o método de trajetórias ortogonais em coordenadas polares, que envolve (1) obter da família dada, (2) calcular sua inclinação em Cartesianas , (3) trocar por sua negativa recíproca e (4) resolver a nova EDO.
Passo 2
Diferenciando
em relação a obtemos
ou seja
Passo 3
A inclinação da curva em Cartesianas é
Substituindo e simplificando dá
Passo 4
Para a trajetória ortogonal, a inclinação é
Igualando isso à expressão genérica de dy/dx em coordenadas polares leva a
drdalpha = -,rcot2alpha
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
drr = -cot2alpha,dalpha Longrightarrow integraldrr = -integralcot2alpha,dalpha ;Longrightarrow; ln r = -tfrac12lnl|sin2alphar| + C